Российский химико-технологический

Дифференциальные уравнения

Методические указания

Новомосковск 2006

Министерство образования Российской Федерации

Российский химико-технологический университет

им. Д. И. Менделеева

Новомосковский институт

Издательский центр

Дифференциальные уравнения

Методические указания

Составители: В.А. Матвеев, А.С. Ребенков, Л.Д. Воробьева, В.Н. Лупу, О.И. Садыкова

Новомосковск 2006

Составители: Составители: В.А. Матвеев, А.С. Ребенков, Л.Д. Воробьева, В.Н.Лупу, О.И. Садыкова

УДК 517.2.

ББК

Д-

Дифференциальные уравнения: Методические указания, НИ РХТУ им. Д.И. Менделеева; сост.: Составители: В.А. Матвеев, А.С. Ребенков, Л.Д. Воробьева, В.Н. Лупу, О.И. Садыкова - Новомосковск 2006,

Настоящие методические указания содержат краткие теоретические сведения по дифференциальным уравнениям, примеры решения и задания для выполнения расчетного задания для студентов 1-ого курса энерго-механических специальностей дневного и вечернего отделения.

Рецензент: Логачева В. М., кандидат технических наук, доцент кафедры физики НИ РХТУ им. Д. И. Менделеева

Российский химико-технологический

Университет им. Д.И. Менделеева

Новомосковский институт, 2006

Предисловие.

Настоящие методические указания предназначены для студентов первого курса Новомосковского института РХТУ им. Д. И. Менделеева для выполнения расчетного задания и содержат краткие теоретические сведения, примеры решения дифференциальных уравнений.

Для обстоятельного изучения курса дифференциальных уравнений рекомендуется ''Дифференциальное и интегральное исчисление'' Н.С. Пискунова, том II [1], в качестве основного учебника. Весьма полезно изучить теоретический материал в других пособиях, которые будут указаны при рассмотрении примеров. Дифференциальные уравнения многообразны и освоить этот математический курс можно только с приобретением практических навыков в составлении и решении уравнений. Поэтому нельзя ограничиваться разбором приведенных примеров в настоящем методическом указании. Для этой цели можно рекомендовать задачник Бермана Г.Н. [2].

1. Введение

При решении многих практических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной процесс, однако возможно установить связь между величинами функциями и скоростями их изменения относительно других переменных величин. Такие задачи сводятся к решению уравнений, содержащие производные или дифференциалы неизвестных функций. Характерное свойство дифференциальных уравнений – иметь бесконечное множество решений. Пример 1. С некоторой высоты сброшено тело массой m. Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него действует тормозящая сила сопротивления воздуха.

Решение: Используя второй закон Ньютона составим уравнение: где -ускорение тела, -сила тяжести, -тормозящая сила (Взятая со знаком минус так как направлена в сторону противоположную направлению скорости).

Дифференциальное уравнение принимает вид: , которое

связывает искомую функцию V и ее производную . Легко убедиться, что всякая функция удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению, каково бы ни было постоянное число , т.е. решений бесконечно много. Зная начальные условия, можно определить частное решение уравнения. Например, если тело начинает движение с нулевой скоростью (начальные условия: V(0)=0), то и .

Пример 2. Тело имеющее в начальный момент температуру T(0)= , поместили в среду, температура которой равна . Как будет изменяться с течением времени температура тела?

Решение: Экспериментально установлено, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, можно составить уравнение:

Знак минус в правой части уравнения соответствует тому, что скорость изменения температуры отрицательна при T-T1>0 и положительна при T-T1<0. Итак, процесс нагревания (или охлаждения) тела в среде с постоянной температурой можно описать уравнением:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

При T(0)=T0 (начальные условия), c=T0-T₁. Частное решение принимает вид:

Другие примеры подобных задач расматриваются в [1,3,4,5] и их полезно изучить для более полного представления о дифференциальных уравнениях как о особо важном разделе математического анализа,

2. Основные понятия.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные.

Будем рассматривать только уравнения, где искомая функция зависит только от одной переменной. Такие дифференциальные уравнения называются обыкновенными.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка записывается так: .

Уравнение, разрешенное относительно производной имеет вид: .

Решением дифференциального уравнения называется функция которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.

Задачи теории дифференциальных уравнений является разыскание всех решений данного уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называет также его интегралом, а процесс разыскания всех решений – интегрированием дифференциального уравнения. Совокупность решений называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка, и записывается так: , где с - произвольная постоянная. Придавая с различные значения, будем получать различные решения, которые называют частными решениями дифференциального уравнения. Для того, чтобы выделить из общего решения требуемое частное решение задают начальные условия, то есть указывают пару соответствующих друг другу значений независимой переменной и функции . Записывают это так:

Числа называют начальными значениями. Отыскание частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям называют задачей Коши. Геометрически каждому частному интегралу дифференциального уравнения соответствует плоская линия, которую называют интегральной кривой этого уравнения, а общему решению соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых. Таким образом, частное решение геометрически представляет собой одну единственную кривую, выделенную из семейства интегральных кривых, проходящую через точку .

Если есть общее решение уравнения разрешимо относительно производной , то оно определяется семейством кривых на плоскости. Производная есть угловой коэфициент касательной к интегральной линии, проходящей через P с координатами x и y. То есть уравнение определяет поле направлений на плоскости, а задачу интегрирования уравнения геометрически можно сформулировать так: найти линии, у которых направление касательной всюду совпадает с направлением поля. Если поле направлений изобразить коротким и густо расположенными черточками, то интегральные кривые можно построить (приближенно) на глаз, т.е. качественно определить расположение кривых. Построение поля уравнения облегчается, еслипредворительно начертить линии равного наклона (изоклины), линии вдоль которых функция
имеет постоянное значение (выполняется соотношение ). При различных значениях k получаем различные изоклины.

3. Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными.

Уравнение вида (3.1) называют уравнением с разделенними переменными. Здесь каждый член уравнения зависит только от одной переменной. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

(3.2)

Пример 3.1. Дано уравнение xdx+ydy =0.

Решение. Интегрируя получим общий интеграл. , обозначив будем иметь . Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом c.

Следует отметить, что решение всех типов дифференциальных уравнений после преобразований в конечном итоге сводится к решению уравненения с разделенными переменными.

Уравнение вида называют уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления его членов на : , т.е. к виду уравнения (3.1).

Пример 3.2. .

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на произведение , получим .

Переменные разделенные, интегрируем:

или

положим , тогда получим - общий интеграл данного уравнения.

Замечание: при делении на произведение могли потерять решение и . Если ищем решение вида y=f(x), то решениями будут только у=1 и y=-1, которые можно получить из общего решения при .

4. Однородные уравнения.

Уравнение называется однородным если можно представить как функцию только одного отношения переменных . Решается с помощью замены функции y (или x) новой функцией t по формуле y=tx (или x=ty).

Пример 4.1.

Решение: Здесь или однородное уравнение первого порядка. Пусть , тогда подставляя в уравнение получим: ; ; , откуда переменные разделены, интегрируем

, откуда

или

положим , тогда получим окончательно: - общий интеграл уравнения.

5. Уравнения, приводящиеся к однородным.

Уравнение вида: (5.1) приводится к однородным при подстановке , , где ()- точки пересечения прямых и при . Если же , то подстановка позволяет разделить переменные.

Пример 5.1.

Решение. Здесь . Вводим новые переменные u и v по формулам .Решая эти уравнения, находим таким образом: Подставляя это в исходное уравнение, получим или

Пусть , откуда v=ut и , уравнение принимает вид: разделяя переменные, получим: или , ,

.

Пример 5.2.

Решение. Поскольку , делаем подстановку , данное уравнение примет вид: или Разделяя переменные и интегрируя, получим или Возвращаясь к старым переменным находим окончательный ответ:

6. Линейные уравнения.

Уравнение вида: (6.1) называется линейным, т.к. линейно относительно искомой функции и ее производной.

Если Q(x)= 0, то уравнение 6.1 называют линейным уравнением без правой части или однородным уравнением. Решение таких уравнений уже было рассмотрено (см. уравнения с разделяющимися переменными).

Если , то уравнение 6.1 называют линейным уравнением с правой частью. Рассмотрим решение уравнения 6.1 с помощью метода вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Находим общее решение соответствующего уравнения без правой части (6.2)

При этом с заменяем неизвестной функцией с(x). Полученное выражение подставляют в исходное уравнение 6.1.. После упрощений с(x) и x разделяются, и, интегрируются, мы найдем выражение c(x) через x. Функция (6.3). будет общим решением уравнения 6.1.

Пример 6.1. ,

Решение. Это линейное уравнение первого порядка, решим его методом вариации произвольной постоянной. Находим сначала решение линейного однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному:

Пусть с=с(x), тогда общее решение данного уравнения будем искать в виде . Найдем . Подставим y и в заданное уравнение, будем иметь:

Тогда Таким образом, общим решением данного уравнения является или Подставляя в полученное общее решение начальные данные y=0 при x=0, имеем . Следовательно частное решение имеет вид:

Уравнение 6.1. можно решить с помощью метода Бернулли. Запишем функцию y в виде произведения двух функций то Подставляя эти выражения в 6.1., имеем:

или

(6.3.)

В качестве v выбираем любое частное решение уравнения:

. (6.4)

Разделяя переменные, имеем: . Подставляя в 6.3. получим уравнение: (6.5), значит Далее находим искомую величину y. Общее решение линейного уравнения имеет вид:

.

Аналогично интегрируется уравнение: (6.6) получаемое из 6.1., если рассматривать x как функцию от аргумента y.

Пример 6.2. .

Решение. Если рассматривать x как функцию от y, то учитывая, что , получим линейное уравнение или . Используем метод Бернулли. Применим подстановку , тогда поставляя эти выражения для и в последнее уравнение, получим или . Пусть интегрируя получим , так как , то подставим или , , . Таким образом общее решение заданного уравнения имеет вид или , полагая и , получим , т.е. с= 0. Следовательно, частное решение или .

7. Уравнение Бернулли.

Уравнение вида (8.1), где , называется уравнением Бернулли. При - это линейное уравнение, а при - это уравнение с разделяющимися переменными. Уравнение Бернулли можно преобразовать в линейное при помощи подстановки , которая преобразует исходное уравнение в уравнение . При интегрировании конкретных уравнений Бернулли можно сразу применить либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольной постоянной.

Пример 7.1.

Решение.

Это уравнение Бернулли.

Для интегрирования этого уравнения воспользуемся подстановкой

Подставляем эти значения и в заданное уравнение:

или

Пусть или

Тогда

Откуда

Подставляем найденное значение ,

Получим или

Выполняя интегрирование, получаем

или

Так как , то общее решение уравнения имеет вид

Подставляем начальные данные у=1 при х=1,

получаем .

Следовательно, частное решение имеет вид

8. Дифференцированные уравнения в полных дифференциалах

Уравнение Q(х,у)dy=0, (9.1)

где , называют уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть уравнения (9.1) есть полный дифференциал.

Записав такое уравнение в виде du=0, найдем первообразующую функцию u(х,у), получая u(х,у)=с. Функция u может быть найдена в виде

(9.2)

или в виде

(9.3)

и - произвольны, при этом интегралы в правой части формул (9.2),(9.3) должны иметь смысл.

Функция и может быть найдена так же по методу изложенному в [5] (п.115.) и разобранному в примере.

Пример 8.1

Решение.

Это уравнение вида

В данном случае , ,

Откуда ,

Так как , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Следовательно ,

Из первого неравенства получаем:

или

Дифференцируя по функцию ,

Находим .

Так как , то

откуда и

Подставляем найденное выражение для в формулу для , получаем

9. Построение интегральных кривых с помощью изоклин.

Интегральная кривая в каждой своей точке касается поля направлений функции .

Всякая кривая, касающаяся в каждой своей точке направления, имеющегося в этой точке, является интегральной кривой. Изоклиной называется кривая, во всех точках которой направление поля одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, в точках пересечения наклонены к оси абцисс под одним и тем же углом. Задача интегрирования дифференциального уравнения можно сформулировать так: найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к ним имеют направления, совпадающие с направлениями поля в точках касания [6].

Пример 9.1. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые уравнения .

Решение. Заметим, что ось абсцисс является интегральной кривой данного уравнения, а так же что интегральные кривые расположены симметрично как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Последнее следует из того, что при замене в данном уравнении на и на оно не изменится. Поэтому для полного представления о поведении интегральных кривых достаточно исследовать их в первом квадранте координатной плоскости.

Семейство изоклин определяется уравнением

, .

Поэтому для любого к>0 касательные к интегральным кривым данного уравнения, проведенные в точках прямой , образуют с осью абсцисс угол равный arctg (k). Нарисовав несколько изоклин и поле направлений, строим приближенно и интегральные кривые уравнения (рис9.1).

Рис 9.1. Интегральные кривые уравнения

10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Универсального метода составления дифференциального уравнения, описывающее процесс, не существует. Можно дать только общее указания. При составлении дифференциального уравнения, необходимо выразить, насколько изменится эта функция, когда независимая переменная x получит приращение , т.е. разность выразить через величины, о которых говорится в задаче. Далее перейдя к пределу при получим зависимость скорости изменения величины y в точке x (т.е. дифференциальное уравнение). Зависимость определяется на основании известной закономерности. При этом используется геометрический смысл производной (тангенс угла наклона касательной) и ее физический смысл (скорость изменения процесса). Некоторые примеры составления дифференциальных уравнений были уже приведены во введении и более подробно рассмотрены в параграфе 3 [6].

Пример 10.1. Кривая проходит через точку (0;1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую .

Решение. Пусть (x;y)-произвольная точка на искомой прямой. Тангенс угла наклона касательной в точке (x;y) равен производной искомой функции в точке (x;y), т.е. . По условию . Отсюда . Так как , то с =1 и .

Пример 10.2. Кривая проходит через точку (1;2). Каждая касательная к той кривой пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной точки касания. Найти кривую .

Решение. Пусть - произвольная точка на данной кривой. Уравнение касательной, проведенной к этой кривой в , имеет вид

,

где Y, X – текущие координаты точек касательной из того условия, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой 2х, получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая:

Проинтегрировав это уравнение, находим так как , поэтому с=1;

следовательно

11. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка таков:

(1.1)

Уравнение, разрешенное относительно n-й производной имеет вид:

(1.2).

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

(1.3)

зависящая от n произвольных постоянных и такая, что она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных. Как правило, задание начальных условий , , определяет одно-единственное решение. Исключение возможно только в тех случаях, когда не выполняются условия существования решения. [1]. Задачу отыскания частного решения по начальным условиям называют задачей Коши. Отыскание частного решения можно производить путем задания краевых условий. Для уравнений второго порядка при этом задаются значения искомой функции в двух разных точках и .

Отличие задания краевых условий от задания начальных условий состоит в том, что начальные условия гарантируют единственность решения уравнения, а краевые условия позволяют только лишь установить имеет ли задача решение и в каком количестве [2].

То есть уравнение, удовлетворяющее заданным краевым условиям может иметь одно решение, бесчисленное множество решений, а может даже вообще не иметь решения.

Решение дифференциальных уравнений n-го порядка весьма сложно и интегрирование в конечном виде возможно только в некоторых частных случаях.

Решение любого дифференциального уравнения n-го порядка сводится к ряду преобразований и интегрированию в конечном итоге уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнения n-го порядка, разрешенное относительно n-й производной:

(11.1)

и частные случаи этого уравнения, допускающие понижение порядка.

11.1.Правая часть уравнения содержит только независимую переменную x.

(11.1.1)

Решение этого уравнения сводится к n-кратному интегрированию. В случае уравнения 2-го порядка имеем .

Отсюда

и далее

Пример 11.1.1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение. Найдем общее решение:

,

или

Учитывая начальные условия:

,

Запишем искомое решение:

.

11.2.Правая часть не содержит .

В этом случае в качестве неизвестной функции берется величина .

Пример 11.2.1 Найти общее решение уравнения

Решение. Разрешив относительно исходное уравнение получим

Полагая и переходим к уравнению первого порядка

.

Решив его находим . Тогда и искомое общее решение

.

11.3.Правая часть не содержит независимого переменного.

Понижение порядка уравнения достигается, если положить , а за новый аргумент принять . Тогда .

Производные высших порядков в этом случае находятся по правилам дифференцирования сложной функции.

При этом порядок уравнения понизится на одну единицу.

Пример 11.3.1 Решить уравнение .

Решение. Положим , . Тогда

,

Общее решение этого уравнения первого порядка есть.

.

Возвращаясь к прежним переменным записываем:

Интегрируя находим:

,

откуда

(знак включен в постоянную ).

12. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

12.1. Общие сведения.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени (линейные) относительно неизвестной функции и ее производных.

Уравнение имеет вид:

, (12.1.1)

где - функции не зависящие от .

Если , то уравнение (12.1) называют уравнением без правой части (или однородным).

(12.1.2)

Если , то уравнением с правой частью (или неоднородным).

Уравнение без правой части обладает следующим свойством: если и - решения уравнения (12.1.2), то функция (12.1.3) является общим решением уравнения, в случае линейной независимости и , т.е. если соотношение

(12.1.4) выполняются только тогда, когда обе произвольные постоянные и равны нулю.

Общее решение уравнения с правой частью есть сумма общего решения соответствующего уравнения без правой части и какого-либо частного решения данного уравнения и имеет вид

(12.1.5)

где - частное решение уравнения с правой частью.

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:

(12.1.6)

Функции и заданы и непрерывны в некотором промежутке. В соответствии с (12.1.3) и (12.1.5) общее решение уравнения (12.1.6) можно записать

, при (12.1.7)

, при (12.1.8)

Линейные уравнения (12.1.1) интегрируются только в специальных случаях.

12.2. Линейные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Уравнение имеет вид:

(12.2.1)

где - постоянные действительные числа.

Решение уравнения (12.2.1) всегда выражается в элементарных функциях. Решение ищут в виде где должно удовлетворять характеристическому уравнению:

(12.2.2)

При этом рассматривают три случая:

12.2.1. действительные и различные числа

общее решение (12.2.3)

Пример 12.2.1. Найти частное решение уравнения при начальных условиях .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид и два действительных корня .

Общее решение (12.2.4)

(12.2.5)

Подставляя в (12.2.3) и (12.2.4) начальные данные получаем

Находим . Искомое частное решение уравнения 12.2.2. - корень характеристического уравнения (12.2.2) кратности . Этому корню соответствует частных решений . В этом случае записывая общее решение в формуле (12.2.3) соответствующие членов заменяются слагаемым (12.2.6).

Пример 12.2.2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Запишем характеристическое уравнение

- будет являться трехкратным действительным корнем. В соответствии с (12.2.6) общим решением будет .

12.2.3. и - комплексные сопряженные числа . Им соответствуют частные решения уравнения (12.2.1) и . В общем решении (формула 12.2.3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым

(12.2.6)

В случае если корни и являются двукратными, то указанным корням соответствуют частные решения .

Пример 12.2.3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Запишем характеристическое уравнение .

Найдем корни. (действительный корень) (пара сопряженных комплексных корней ). Общее решение исходного уравнения

12.3. Неоднородные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение имеет вид

(12.3.1)

В соответствии с формулой (12.1.8) общее решение уравнения (12.3.1) можно записать как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения () исходного уравнения.

Таким образом стоит задача отыскания этого частного решения . Рассмотрим два метода решения этой задачи.

12.3.1. Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть частные решения соответствующего однородного уравнения будут . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

(12.3.2), где - неизвестные функции подлежащие определению из системы уравнений:

………………………………… (12.3.3)

где - правая часть уравнения (12.3.1).

Этот метод является наиболее общим методом отыскания частного решения неоднородного уравнения. Кроме того, он пригоден так же для решения неоднородных уравнений с переменными коэффициентами.

Пример 12.3.1 Найти общее решение уравнения (12.3.4)

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения (12.3.5)

Считая и неизвестными функциями и , находим их из системы уравнений:

(12.3.6)

Отсюда находим

Подставляя полученные решения в (12.3.5) получаем общее решение уравнения (12.3.4).

, где и - произвольные постоянные.

12.3.2. Метод неопределенных коэффициентов.

Метод применим только в том случае, если правая часть уравнения с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

(12.3.7), где и постоянные, и - многочлены от степеней соответственно и .

Частное решение ищут в виде (12.3.8)

- показатель кратности корня в характеристическом уравнении (, если числа не являются корнями). и многочлены от степени с неопределенными коэффициентами, причем равно наибольшему из чисел и ().

Возможны следующие частные случаи функции :

1). () (12.3.9)

Поиск по сайту: