АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Читайте также:
  1. IV. ЗАСОБИ ЗАХИСТУ ЛЮДИНИ ВІД НЕБЕЗПЕЧНИХ ФАКТОРІВ У НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ МИРНОГО ТА ВОЄННОГО ЧАСІВ
  2. А. НЕБЕЗПЕКИ, ЩО ПРИЗВОДЯТЬ ДО НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ ТА ЗАХОДИ ЗНИЖЕННЯ ЇХ НАСЛІДКІВ
  3. БЕЗПЕКА ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ В УМОВАХ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ
  4. БЕЗПЕКА ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ В УМОВАХ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ
  5. БЕЗПЕКА ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ В УМОВАХ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ
  6. БЕЗПЕКА ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ В УМОВАХ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ
  7. БЕЗПЕКА ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ В УМОВАХ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ
  8. В якій відповіді наведене правильне положення, що стосується відповідальності за злочини проти громадського порядку та моральності?
  9. Визнана у встановленому порядку претензія.
  10. Виключне провадження в кримінальному процесі: приводи і підстави, строки перегляду справ, процесуальні наслідки перегляду справ в порядку виключного провадження.
  11. ВИСТУП ПРЕМ'ЄР-МІНІСТРА КАРПАТСЬКОЇ УКРАЇНИ АВГУСТИНА ВОЛОШИНА ПРИ ВІДКРИТТІ ПЕРШОГО ЗАСІДАННЯ СЕЙМУ КАРПАТСЬКОЇ УКРАЇНИ
  12. Глава 45. Кримінальне провадження у порядку перейняття

Метод послідовних наближень Пікара розв’язування задачі Коші

Для інтегрування диференціального рівняння при деякій початковій умові використовують початкову функцію і обчислюють послідовні наближення до шуканого розв’язку:

. (1)

Метод Пікара особливо зручний, якщо інтеграли в такому вигляді є замкненими. При цьому можна застосовувати і саме інтегральне числення.

При реалізації цього підходу будуємо шуканий розв’язок у вигляді і знаходимо його для . Формальне використання формули Ньютона-Лейбница дозволяє отримати представлення у вигляді:

або

.

Використовуючи останнє можна отримати перше наближення

.

Всі наступні наближення отримуються згідно (1).

Якщо функція є диференційованою, то послідовність є збіжною на відрізку , тобто

.

Метод послідовних наближень застосовується в тому випадку, коли можуть бути обчислені інтеграли в кожному наближенні.

Приклад. Знайти методом послідовних наближень розв’язок задачі Коші

, , .

Послідовні наближення отримуємо за формулою (1):

,

,

,

.

Точним розв’язком цієї задачі є . Для перевірки отриманого розв’язку за методом послідовних наближень, розкладемо функцію в ряд:

.

Таким чином, результати співпадають.

Контрольні запитання

1. До якої групи методів належить метод Пікара?

2. При яких умовах можна застосовувати метод послідовних наближень до розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння?

3. Як можна вивести формулу для обчислення -го наближення за методом Пікара, який вигляд має ця формула?

4. При якій умові метод послідовних наближень збігається до розв’язку задачі Коші?

5. Чому дорівнює похибка -го наближення за методом Пікара?

 


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (1.145 сек.)