Системы счисления. Системы счисления разделяются на позиционные и непозиционные

Системы счисления разделяются на позиционные и непозиционные. Примером непозиционной системы счисления является общеизвестная римская система. Например, число 1994 в этой системе имеет вид

M C M X C I V

В латинской системе счисления каждая буква определяет соответствующую цифру:

M = 1000; D = 500; C = 100; L = 50; X = 10; V = 5; I = 1.

Число получается сложением значений цифр, если после большей цифры идет меньшая цифра, и вычитанием, если имеет место обратный порядок цифр. В приведенном выше примере имеем

1000 - 100 + 1000 - 10 + 100 + 1 + 1 + 1

Значение цифры в римской системе не зависит от положения (позиции) в числе. Поэтому такая система счисления и называется непозиционной.

Древнеславянская нумерация сходна с римской нумерацией тем, что здесь для записи цифр также используют буквы алфавита. Например, число 333 в этой системе имеет вид

Т Л Г,

где Т = 300, Л = 30, Г = 3 (дополнительно над числом записывается также знак "титл", напоминающий перевернутую букву Z; титл - это признак числа). Славянская система счисления также является непозиционной.

Непозиционные системы счисления практически непригодны для выполнения арифметических операций.

Примером позиционной системы счисления является привычная для нас десятичная система.

Рассмотрим произвольное число 83887. Это число можно записать как сумму значений отдельных его цифр:

80000 + 3000 + 800 + 80 + 7.

Как видно из этой записи, значение любой цифры в числе, в частности цифры 8, зависит от ее позиции.

Пусть число, записанное в произвольной позиционной системе счисления, имеет n+1 цифру в целой части и m цифр в своей дробной части:

a_n, a_n-1, a_n-2,..., a₂, a₁, a₀, b₁, b₂,...,b_k,

где a_i - i-ая цифра целой части, b_j - j-ая цифра дробной части числа.

Тогда значение этого числа можно представить в виде

a_n*рⁿ + a_n-1*p^n-1 +...+ a₁*p¹ + a₀*p⁰ + b₁*p^-1 + b₂*p^-2 +...+ b_k*p^-k,

где p - основание системы счисления.

Например, для десятичного числа имеем

83887,45 = 8*10⁴ + 3*10³ + 8*10² + 8*10¹ + 7*10⁰ + 4*10^-1 + 5*10^-2.

В ЭВМ наиболее часто применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления (2, 8 и 16 c/c). При этом восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются, как правило, для компактной записи двоичных чисел.

1. Двоичная система счисления.

Основанием системы счисления является число 2. Количество цифр, используемых для изображения чисел в любой системе счисления, равно основанию этой системы. В 2 с/с для этой цели используются цифры 0 и 1.

Рассмотрим произвольное двоичное число

11010,101 = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 =

= 16 + 8 + 2 + 1/2 + 1/8 = 26 5/8 = 26,625 (10 с/с)

Представленная выше схема разложения двоичного числа является одновременно схемой перевода из 2 с/с в 10 c/c (2 --> 10).

Рассмотрим теперь перевод 10 --> 2. Такой перевод производится отдельно для целой и отдельно для дробной частей числа.

Пример. 43,375₁₀ = 101011,011₂

43 ¦ 2

42 21 ¦ 2

1 20 10 ¦ 2

1 10 5 ¦ 2

0 4 2 ¦ 2

1 2 1 ¦

0 ¦

<--------------

Деление производится до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее делителя. После этого цифры частного и остатков записываются в обратном порядке. В данном случае получим 101011.

В самом деле, мы 5 раз разделили исходное число на 2. Следовательно, в нем 1 раз содержится 2. Кроме этого, в числе также 0 раз содержится 2⁴, 1 раз 2³, 0 раз 2², 1 раз 2¹ и 1 раз 2⁰.

Тогда можно записать: 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰,

т.е. мы получили разложение числа по степеням основания 2.

Для перевода дробной части рассмотрим вначале произвольную десятичную дробь. Будем последовательно умножать на 10 исходное число и дробные части получаемых в процессе преобразования чисел до тех пор, пока дробная часть очередного числа не станет равной нулю.

0, ¦ 935 * 10

9, ¦ 35 * 10

3, ¦ 5 * 10

5, ¦ 0

Эта схема показывает,что в исходном числе содержится 9*10^-1 (после первого умножения) + 3 * 10^-2 (после второго умножения) + 5 * 10^-3 (после третьего умножения).

Если вместо умножения на 10 мы будем умножать на число p, то получим перевод дробной части числа в систему счисления с основанием p.

Для исходного числа

0, ¦ 375 * 2

0, ¦ 75 * 2

1, ¦ 5 * 2

1, ¦ 0

Следовательно, 0,375₁₀ = 0,011₂.

Конечная десятичная дробь не всегда образует конечную двоичную дробь. Например, для числа 0,4 получим

0, ¦ 4 * 2

0, ¦ 8 * 2

1, ¦ 6 * 2

1, ¦ 2 * 2

0, ¦ 4 * 2

0, ¦ 8 * 2

1, ¦ 6 * 2

..............

0,3₁₀ = 0,011001100110... = 0, (0110)₂

Естественно, в этом случае полученное двоичное число округляют.

2. Восьмеричная система счисления.

Основанием системы является число 8. Для изображения числа используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод 8 --> 10:

35174,6₈ = 3*8⁴ + 5*8³ + 1*8² + 7*8¹ + 4*8⁰ + 6*8^-1 = 3*4096 + 5*512 + 1*64 +

+ 7*8 + 6/8 = 12288 + 2560 + 64 + 56 + 4 + 3/4 = 14972,75₁₀.

Перевод 10 --> 8. Схема перевода такая же, как и для 2 с/c.

397,2₁₀ = 615,15₈

397 ¦ 8 0, ¦ 2 * 8

32 +---- 1, ¦ 6 * 8

---- 49 ¦ 8 4, ¦ 8 * 8

77 48 +---- 6, ¦ 4 * 8

72 --- 6 3, ¦ 2 * 8

---- 1 ¦ 1, ¦ 6 * 8

5 <--------...........

0,2₁₀ = 0,146314631... = 0,(1463)

Полученная восьмеричная дробь округлена до двух цифр.

Правило округления: чтобы округлить дробное число до m цифр, нужно к (m+1)-ой цифре добавить половину цены разряда для данной системы счисления. Для 8 c/c половина цены разряда равна 4, для 2 с/c - 1, для 16 c/c - 8.

Примечание. Сложение в вышеприведенном примере было выполнено в восьмеричной системе счисления.

Перевод 8 --> 2. Для перевода восьмеричного числа в 2 c/c нужно каждую восьмеричную цифру записать в виде двоичной триады, т.е. трех двоичных цифр.

Например, 3763,24₈ = 011 111 110 011, 010 100₂ = 11111110011,0101₂

Такое правило перевода 8 --> 2 связано с тем, что 8 = 2³.

В самом деле,

3763,24₈ = 3*8³ + 7*8² + 6*8¹ + 3*8⁰ + 2*8^-1 + 4*8^-2 = (0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰)*2⁹ +

+ (1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰)*2⁶ + (1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰)*2³ + (0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰)*2⁰ +

+ (0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰)*2^-3 + (1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰)*2^-6 = 0*2¹¹ + 1*2¹⁰ + 1*2⁹ +

+ 1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 +

0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5 + 0*2^-6 = 011 111 110 011, 010 100₂

Для перевода 2 --> 8 следует разделить двоичное число влево и вправо от запятой на триады, а затем заменить каждую триаду одной восьмеричной цифрой. Если первая триада в целой части или последняя триада в дробной части числа получаются неполными, то нужно дополнить их незначащими нулями.

Пример.

001¦011¦110¦111,101¦101¦010₂ = 1367,5522₈

В связи с тем, что перевод 10 --> 8 или 8 --> 10 выполняется быстрее, чем перевод 10 --> 2 или 2 --> 10, то вместо 10 --> 2 выполняют 10 --> 8 --> 2, а вместо 2 --> 10 выполняют 2 --> 8 --> 10.

3. Шестнадцатеричная система счисления.

Основанием системы является число 16. Для изображения числа нужно использовать 16 цифр. Так как цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 недостаточно, то для остальных цифр используются первые буквы латинского алфавита: A (цифра 10), B (цифра 11), C (цифра 12), D (цифра 13), E (цифра 14), F (цифра 15).

Перевод 16 --> 10:

A8B7,E₁₆ = 10*16³ + 8*16² + 11*16¹ + 7*16⁰ + 14*16^-1 = 10*4096 + 8*256 + 11*16 + 7 +

+ 14/16 = 43191,875₁₆.

Перевод 10 --> 16.

7643,4₁₀ = 1EDB,66₁₆

7643 ¦ 16 0, ¦ 4 * 16

64 +----- 6, ¦ 4 * 16

---- 477 ¦ 16 6, ¦ 4 * 16

124 32 +----- 6, ¦ 4 * 16

112 ---- 29 ¦ 16............

----- 157 16 +-----

123 144 --- 1

112 ---- 14 ¦

----- 13 ¦

11 <---------

Перевод 16 --> 2. Так как 16 = 2⁴, то в этом случае каждая шестнадцатеричная цифра должна быть представлена двоичной тетрадой.

Пример.

D85CA,9B₁₆ = 1101 1000 0101 1100 1010, 1001 1011₂

Перевод 2 --> 16. В этом случае исходное число нужно разделить влево и вправо от запятой на тетрады, а затем каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой.

Пример.

11¦1011¦1110¦0001¦,0110¦110₂ = 3BE1,6C₁₆

Для сокращения вычислений

вместо 10 --> 2 выполняют 10 --> 16 --> 2, а

вместо 2 --> 10 выполняют 2 --> 16 --> 10.

Поиск по сайту: