АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Достаточные условия экстремума

Читайте также:
  1. E. которая не обладает гибкостью и не может адаптировать свои свойства к окружающим условиям
  2. I.6.1.Кризис административно-командной системы в условиях завершения восстановления народного хозяйства после окончания Отечественной войны.
  3. II. Механизмы и условия социализации личности
  4. IV. Требования к условиям реализации основной образовательной программы начального общего образования
  5. IV. ТРЕБОВАНИЯ К УЧАСТНИКАМ И УСЛОВИЯ ИХ ДОПУСКА
  6. IV. Условия проведения Конкурса
  7. IV. Условия проведения Конкурса
  8. IX. Снижение класса (подкласса) условий труда при применении работниками, занятыми на рабочих местах с вредными условиями труда, эффективных СИЗ
  9. V. ТРЕБОВАНИЯ К УЧАСТНИКАМ И УСЛОВИЯ ИХ ДОПУСКА
  10. V. Условия конкурса.
  11. V. Условия проведения конкурса концертных направлений.
  12. V. Условия участия в фестивале и конкурсах

Теорема 22.3. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) если f ′(x) > 0 при x < x0 и f ′(x) < 0 при x > x0, точка х0 является точкой максимума;

2) если f ′(x) < 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0, точка х0 является точкой минимума;

3) если f ′(x) не меняет знак в точке х0, эта точка не является точкой экстремума.

Доказательство.

Справедливость утверждения 3) следует из теоремы 22.1. Докажем утверждения 1) и 2). По формуле Лагранжа f(x) – f(x0) = f ′(ξ)(x – x0), где х принадлежит окрестности точки х0, а ξ лежит между х и х0. Если f ′(ξ) > 0 при x < ξ < x0 и f ′(ξ) < 0 при х0 < ξ < x, приращение функции f(x) – f(x0) < 0 по обе стороны х0, то есть в рассматриваемой точке достигается максимум. Если же производная при х = х0 меняет знак с «+» на «-», точка х0 является точкой минимума. Следовательно, изменение знака производной в точке х0 является необходимым и достаточным условием наличия экстремума в этой точке.

 

Теорема 22.4. Пусть f ′(x0) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки х0. Тогда х0 является точкой максимума, если f ′′(x0) < 0, или точкой минимума, если f ′′(x0) > 0.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть f ′′(x0) < 0. Так как по условию f ′′(x) непрерывна, существует окрестность точки х0, в которой f ′′(x) < 0. Вспомним, что f ′′(x) = (f ′(x))′, и из условия (f ′(x))′ < 0 следует, что f ′(x) убывает в рассматриваемой окрестности. Поскольку f ′(x0) = 0, f ′(x) > 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0. Тогда по теореме 22.3 точка х0 является точкой максимума функции, что и требовалось доказать. Утверждение 2) доказывается аналогично.

Теорема 22.5. Пусть функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке х0 и f (k)(x0) = 0 при k = 1,2,…, n -1, а f (n) (x0) ≠ 0. Тогда, если n – четное число (n = 2 m), функция f(x) имеет в точке х0 экстремум, а именно максимум при f (2m)(x0) < 0 и минимум при f ( 2 m)(x0) > 0. Если же n – нечетное число (n = 2 m – 1), то точка х0 не является точкой экстремума.

Доказательство. Из формулы Тейлора (21.6) следует, что где ξ лежит между х и х0.

а) Если n = 2 m – четное и f (2m)(x0) < 0, то найдется окрестность точки х0, в которой f (2m) (x) < 0. Пусть х принадлежит этой окрестности, тогда ξ тоже ей принадлежит, то есть f (2m)(ξ) < 0. Но (x – x0)2m > 0 при х ≠ х0, поэтому f(x) – f(x0) < 0 во всей рассматриваемой окрестности, следовательно, точка х0 является точкой максимума.

б) Если n = 2 m – четное и f (2m)(x0) > 0, то таким же образом доказывается, что х0 – точка минимума.

в) Если n = 2 m - 1 – нечетное, то (x – x0)2m-1 имеет разные знаки по разные стороны точки х0. Поэтому в окрестности этой точки, в которой производная порядка 2 m – 1 сохраняет постоянный знак, приращение функции меняет знак при х = х0. Следовательно, экстремум в этой точке не достигается.

Вывод: проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1) убедиться, что f ′(x) меняет знак при х = х0;

2) определить знак f ′′(x0);

3) если f ′′(x0) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.

Примеры.

1. Определим тип экстремума функции y = x ³ - 3 x + 7 при х = 1. Точка х = 1 является критической, так как y′ = 3 x ² - 3 x = 0 при х = 1. Так как при x < 1 y ′ < 0, а при x > 1 y ′ > 0, x =1 – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной: y ′′ = 6 x – 3 = 3 > 0 при х = 1. Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 22.4).

2. Исследуем на экстремум функцию y = x 5 + x 3. y ′ = 5 x 4 + 3 x ² = x ²(5 x ² + 3) = 0 при х = 0. При этом y′′ = 20 x ³ + 6 x = 0 при х = 0, y′′′ = 60 x ² + 6 = 6 ≠ 0 при х = 0. Порядок первой ненулевой производной в точке х = 0 равен нечетному числу 3, следовательно, по теореме 22.5 функция не имеет экстремума в этой точке, а так как критическая точка единственна, функция вообще не имеет экстремумов.


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)