АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Необходимое условие экстремума

Читайте также:
  1. Вопрос № 27: «Описать условие развития межличностных отношений».
  2. Выбрать оборудование, необходимое для производства продукции или оказания услуги
  3. Глава 4. Необходимое лечение.
  4. Глава вторая: подчиняться положениям Ислама есть условие действительности Ислама.
  5. Глава первая: Наличие таухида есть неизбежное условие для того, чтобы считать человека муслимом.
  6. Глава четвертая: выполнение требований таухида на словах и на деле является условием его действительности.
  7. Глава четвертая: Отвергать тагутов – условие свидетельства
  8. Двигательная активность как важное условие развития личности ребенка
  9. Для настройки многопользовательского режима требуется получить необходимое количество дополнительных сертификатов.
  10. Доверие к себе как условие развития личности.
  11. Доктрина «сравнительных преимуществ» Д. Рикардо. Понятие «условие торговли».
  12. Достаточное условие идентификации

Лекция 22.

Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

В предыдущих лекциях использовались известные из курса элементарной математики понятия возрастающей и убывающей функций. Определим их еще раз.

Определение 22.1. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ ab ], если

таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Теорема 22.1. Если функция f(x), дифференцируемая на [ ab ], возрастает на этом отрезке, то на [ ab ].

Если f(x) непрерывна на [ ab ] и дифференцируема на (ab), причем для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ ab ].

Доказательство.

1. Пусть f(x) возрастает на [ ab ]. Тогда при то есть Если же поэтому Следовательно, в обоих случаях Значит, что и требовалось доказать.

  1. Пусть Выберем По теореме Лагранжа

Но по условию поэтому f(x2) > f(x1), следовательно, f(x) – возрастающая функция.

Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: Если f(x) убывает на [ ab ], то на [ ab ]. Если на (ab), то f(x) убывает на [ ab ].

Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [ ab ], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна). Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох).

Необходимое условие экстремума.

В лекции 19 было дано определение максимума и минимума функции.

Теорема 22.2 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0. Если х0 является точкой экстремума функции, то или не существует.

Доказательство. Действительно, производная в точке х0 либо существует, либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна нулю.

Примеры.

  1. Функция y = x ² имеет минимум при х = 0, причем (х ²)′ = 2 x = 0 при х = 0.
  2. Минимум функции y = | x | достигается при х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Замечание. Отметим еще раз, что теорема 22.2 дает необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых f ′(x) = 0, функция достигает экстремума.

Пример. У функции y = x ³ y ′ = 3 x 2 = 0 при х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения.

Определение 22.2. Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х0 называется критической точкой функции. Теорема 22.1 означает, что все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции.


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)