Достаточное условие идентификации

Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в рассматриваемом структурном уравнении, не равен нулю и ранг этой матрицы не меньше числа эндогенных переменных системы без единицы, то это уравнение точно (просто) идентифицируемо.

10.4. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется для определения коэффициентов точно (просто) идентифицируемых уравнений структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы.

Шаг 1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели.

Шаг 2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (δ_ij).

Шаг 3. Методом исключения по коэффициентам приведенной формы модели с помощью подстановки вычисляются оценки коэффициенты структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для модифицированной модели Кейнса:

C_t = b₁₀ + b₁₁×Y_t+ e_1t,

I_t = b₂₀ + b₂₁×Y_t+b₂₂ Y_t-1 + e_2t, (10.4)

Y_t = C_t + I_t + G_t,

где C_t – расходы на потребление некоторого региона за t-ый период времени;

I_t – инвестиции за t-ый период времени;

G_t – государственные расходы за t-ый период времени;

Y_t - доходы в некотором регионе за t-ый период времени;

Y_t-1 - доходы в регионе за предыдущий (t-1)-ый период времени. Судя по уравнению (10.4), мы имеем дело с тремя эндогенными переменными C_t, I_t, Y_t и двумя экзогенными переменными Y_t-1 и G_t.

Для определения идентифицируемости воспользуемся небходимым условием идентифицируемости (счётным правилом).

Для первого уравнения H = 2, а D = 2. Таким образом, H<D+1. Значит первое уравнение сверхидентифицируемо.

Для второго уравнения H = 2, а D = 1. Таким образом, H=D+1. Значит второе уравнение точно (просто) идентифицируемо.

Значит, для определения второго уравнения СФМ можно применить косвенный МНК.

Пусть для построения данной модели мы располагаем некоторыми статистическими данными по региону:

Таблица 1

Приведенная форма модели имеет вид:

C_t = d₁₀ + d₁₁×Y_t-1 + d₁₂×G_t + u_1t,

I_t = d₂₀ + d₂₁×Y_t-1 + d₂₂ G_t + u_2t, (10.5)

Y_t = C_t + I_t + G_t.

где u_1t, u_2t – случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем традиционный МНК и определяем d_ij – коэффициенты с помощью команд: Сервис, Анализ данных, Регрессия.

В качестве входного интервала для Y Вх_инт_Y берём столбец объёмов потребления C_t, а в качестве Вх_инт_X – оба столбца Y_t-1 и G_t. В результате получим следующее первое уравнение приведенной формы модели:

C_t = 611,1906 + 0,735347×Y_t-1 + 10,37257×G_t+ u_1t.

Значит, d₁₀ = 611,1906, d₁₁ = 0,735347, d₁₂ = 10,37257.

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели. В качестве Вх_инт_Y берём столбец объёмов инвестиций I_t, а в качестве Вх_инт_X – также оба столбца Y_t-1 и G_t. В результате получим:

I_t = 1093,428 + 0,123536∙Y_t + (–6,41314)∙G_t + u_2t.

Значит, d₂₀ = 1093,428, d₂₁ = 0,123536, d₂₂ = –6,41314.

Таким образом, приведенная форма модели (10.5) для наших конкретных данных имеет вид:

C_t = 611,1906 + 0,735347×Y_t-1 + 10,37257×G_t+ u_1t.

I_t = 1093,428 + 0,123536∙Y_t + (–6,41314)∙G_t + u_2t.

Переходим к вычислению коэффициентов второго уравнения структурной формы косвенным методом наименьших квадратов (КМНК), поскольку оно точно (просто) идентифицируемо.

C_t = d₁₀ + d₁₁×Y_t-1 + d₁₂×G_t + u_1t,

I_t = d₂₀ + d₂₁×Y_t-1 + d₂₂ G_t + u_2t, (10.6)

Y_t = C_t + I_t + G_t.

Для этой цели из второго уравнения приведенной формы (10.6) модели надо исключить G_t, выразив его из первого и третьего уравнений приведенной формы и подставить во второе. Сложим два первых уравнения и добавим к ним тожество G_t = G_t,чтобы воспользоваться третьим уравнением. Будем выполнять это в общих обозначениях уравнения (10.6).

С_t + I_t + G_t = [d₁₀ + d₂₀] + [d₁₁+ d₂₁]×Y_t-1 + [d₁₂ + d₂₂ +1]×G_t + u_1t + u_2t.

Или

Y_t = = [d₁₀ + d₂₀] + [d₁₁+ d₂₁]×Y_t-1 + [d₁₂ + d₂₂ +1]×G_t + u_1t + u_2t ,

исключаем G_t,

G_t = (Y_t – [d₁₀ + d₂₀] – [d₁₁ + d₂₁]×Y_t-1 - u_1t - u_2t)/[d₁₂ + d₂₂+1].

Подставим во второе уравнение,

I_t = d₂₀ + d₂₁×Y_t-1 + d₂₂×(Y_t – [d₁₀ + d₂₀] – [d₁₁ + d₂₁]×Y_t-1 - u_1t - u_2t)/[d₁₂ + d₂₂ +1] + u_2t =

= (d₂₀ – d₂₂×[d₁₀ + d₂₀]/[d₁₂ + d₂₂ +1]) + (d₂₂/[d₁₂ + d₂₂ +1])×Y_t + (d₂₁ - d₂₂×[d₁₁ + d₂₁]/[d₁₂ + d₂₂+1])×Y_t-1 + [u_2t - d₂₂×[u_1t + u_2t ]/[d₁₂ + d₂₂ +1] =

= b₂₀ + b₂₁×Y_t+b₂₂×Y_t-1 + e_2t,

где

b₂₀ = d₂₀ – d₂₂×[d₁₀ + d₂₀]/[d₁₂ + d₂₂ +1],

b₂₁ = d₂₂/[d₁₂ + d₂₂ +1],

b₂₂ = d₂₁ – d₂₂×[d₁₁ + d₂₁]/[d₁₂ + d₂₂+1],

e_2t = u_2t – d₂₂×[u_1t + u_2t ]/[d₁₂ + d₂₂ +1].

При подстановке конкретных значений для d_ij получим b₂₀ = 3297,705, b₂₁ = -1,29312, b₂₂ = 1,234174.

Тогда второе уравнение структурной модели для данных таблицы 1 имеет вид:

I_t = 3297,705 + (–1,29312)×Y_t+1,234174 Y_t-1 + e_2t.

Различия между коэффициентами регрессии и структурными коэффициентами модели численно могут быть и менее существенными. Так, например, Г. Тинтнер, рассматривая статическую модель Кейнса для австрийской экономики за 1948–1956 гг., получил функцию потребления классическим МНК в виде C = 0,782y +71,6, а косвенным МНК C = 0,781y + 73,212.

При сравнении результатов, полученных традиционным МНК и с помощью КМНК, следует иметь в виду, традиционный МНК, применяемый к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов. Как показал Т. Хаавельмо, рассматривая две взаимосвязанные регрессии:

y = a∙x + ε₁,

y = b∙y + ε₂.

коэффициент регрессии отличается от структурного коэффициента и совпадает с ним только в одном частном случае, когда переменная Y не содержит ошибок (т.е. ε = 0), а ошибки переменной X имеют дисперсию, равную 1.

Нарушение предпосылки независимости факторов друг от друга при использовании традиционного МНК в системе одновременных уравнений приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов; в ряде случаев они оказываются экономически бессмысленными. Опасность таких результатов возрастает при увеличении числа эндогенных переменных в правой части системы, ибо становится невозможным расщепить совместное влияние эндогенных переменных и видеть изолированные меры их воздействия в соответствии с предпосылками традиционного МНК.

10.5. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Если система сверхидентифицируема, то косвенный метод наименьших квадратов (МНК) не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двушаговый косвенный метод наименьших квадратов (ДМНК).

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурированной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Метод получил название ДМНК, так как дважды используется МНК:

Шаг 1. Составляют приведенную формы модели и находят численные оценки коэффициентов каждого её уравнения обычным методом наименьших квадратов (МНК).

Y_teor(x_i) = δ_i0 + δ_i1×x₁ + δ_i2×x₂ +... + δ_ij×x_j. (10.8)

Шаг 2. Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного сверхидентифицируемого уравнения и находят расчетные (теоретические) значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям (10.8) приведённой модели.

Шаг 3. Обычным методом наименьших квадратов (МНК) вычисляют значения коэффициентов структурного сверхидентифицируемого уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределённых (экзогенных и лаговых) переменных и найденные на шаге 2 расчётные (модельные) значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

· все уравнения системы сверхидентифицируемы;

· система содержит наряду со сверхидентифицируемыми и точно (просто) идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемы, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК.

Если в системе есть точно (просто) идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений (косвенным МНК).

Применим ДМНК к первому уравнению системы (10.4), так как оно сверхидентифицируемо:

C_t = b₁₀ + b₁₁×Y_t+ e_1t,

I_t = b₂₀ + b₂₁×Y_t+b₂₂ Y_t-1 + e_2t, (10.4)

Y_t = C_t + I_t + G_t,

В правой части первого уравнения находится эндогенная переменная Y_t. Её теоретическое (расчётное) значение найдём из приведённой модели. Для ясности добавим каждой эндогенной переменной индекс, говорящий о том, она из приведённой модели.

C_t,priv = d₁₀ + d₁₁×Y_t-1 + d₁₂×G_t + u_1t,

I_t,priv = d₂₀ + d₂₁×Y_t-1 + d₂₂ G_t + u_2t, (10.8)

Y_t,priv = C_t,priv + I_t,priv + G_t.

Тогда из третьего уравнения (отбросив отклонения) получаем теоретическое (расчётное) значение

Y_t,priv = C_t,priv + I_t,priv + G_t = d₁₀ + d₁₁×Y_t-1 + d₁₂×G_t + u_1t + d₂₀ + d₂₁×Y_t-1 + d₂₂ G_t + u_2t + G_t = [d₁₀ + d₂₀] + [d₁₁+ d₂₁] ×Y_t-1 + [d₁₂+ d₂₂ +1]×G_t.

Таким образом,

Y_t,priv = [d₁₀ + d₂₀] + [d₁₁+ d₂₁] ×Y_t-1 + [d₁₂+ d₂₂ +1]×G_t. (10.9)

На шаге 3 применяем ещё раз обычный МНК (В MS Excel с помощью команд Сервис, Анализ данных, Регрессия). В этом первом структурном уравнении других предопределённых переменных нет, значит, в качестве Вх_инт_X будет выступать только Y_t,priv, рассчитанное по формуле (10.9). В качестве Вх_инт_Y будет выступать столбец фактических значений C_t.

Таким образом, для наших данных получим оценки коэффициентов b₁₀= –973,781, b₁₁= 0,890943.

Значит, первое уравнение структурной формы модифицированной модели Кейнса имеет вид

C_t = = –973,781 + 0,890943×Y_t.

ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и косвенный МНК.

Поиск по сайту: