ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение. 5

2. Раздел 1. Класс функций, удовлетворяющих условию липшица. 6

2. Раздел 2. Примеры различных функций. 8

3. Раздел 3. Замкнутость класса липшицевых функций. 12

4. Раздел 4. Взаимосвязь между свойством «функция принадлежит
классу липшица» и другими свойствами функций. 17

5. Раздел 5. Геометрический смысл условия липшица. 27

6. Заключение. 28

7. Список использованных источников. 29

ВВЕДЕНИЕ

В своей курсовой работе я хочу рассмотреть класс функций, удовлетворяющих условию Липшица. Что это за функции? Каковы их свойства? Как они связаны с другими классами функций? Вот основные вопросы, которые я ставлю перед собой, начиная изучение данной темы. Одной из главных моих задач является рассмотрение различных примеров функций, на которых выполняется или не выполняется условие Липшица. Условие Липшица очень пригодится нам при изучении дифференцируемых функций.

Краткая историческая справка [1]

Рудольф Липшиц (14.05.1832 — 7.10.1903) — немецкий математик, профессор Бреславльского (1862) и Боннского (1884) университетов.

Сочинения Липшица посвящены различным областям анализа, теории чисел, механики и физики, дифференциальным уравнениям и многомерной геометрии. В 1864 году, рассматривая достаточные условия для сходимости ряда Фурье функции f(x), сформулировал условие, которое названо его именем.

РАЗДЕЛ 1

КЛАСС ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ЛИПШИЦА

Определение:

Класс липшицевых функций — это множество всех функций, каждая из которых удовлетворяет условию Липшица: для функции f(x) на промежутке I существует постоянная L такая, что |f(x) – f(y)|≤ L|x – y| для любых x и y из промежутка I.

Рассмотрим в качестве примеров следующие функции и проверим, удовлетворяют ли они условию Липшица:

1) Линейная функция

По определению Липшицевых функций получаем

,

т.е. существует постоянная , такая что

.

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица.

2) Функция Дирихле

Допустим, от противного, что функция удовлетворяет условию Липшица, значит:

( .

Выберем , тогда

, тогда

а ,

т.к. мы предположили, что функция удовлетворяет условию Липшица, значит:

пришли к противоречию.

Следовательно, функция не удовлетворяет условию Липшица.

РАЗДЕЛ 2

ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

В этом разделе рассмотрим некоторые функции, которые могут пригодиться для доказательства последующих теорем.

1.

Выясним, удовлетворяет ли данная функция условию Липшица.

Доказательство.

Рассмотрим функцию , которая является непрерывной на всей области определения. Тогда ее производная

,

она является ограниченной на всей области определения

,

по теореме Лагранжа [2] получим

.

Следовательно, удовлетворяет условию Липшица.

2.

Выясним, удовлетворяет ли данная функция условию Липшица.

Доказательство.

Рассмотрим функцию , которая является непрерывной на всей области определения. Тогда ее производная

,

она является ограниченной на всей области определения

,

по теореме Лагранжа получим

.

Следовательно, удовлетворяет условию Липшица.

3.

Выясним, удовлетворяет ли данная функция условию Липшица.

Доказательство.

Покажем, что

Зафиксируем точку Для того, чтобы подобрать , проверим, что при .
Действительно, применяя правило Лопиталя[3], находим:

Тогда ,

следовательно,

Отсюда делаем вывод, что функция не удовлетворяет условию Липшица.

4.

Выясним, удовлетворяет ли данная функция условию Липшица.

Доказательство.

Допустим, от противного, что удовлетворяет условию Липшица. Зафиксируем две точки, например, и , тогда

Найдем пределы от обеих частей неравенства при :

,

.

Из этого видно, что , пришли к противоречию.

Отсюда делаем вывод, что функция не удовлетворяет условию Липшица.

5. .

Пусть функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [ a,b ].

Выясним, удовлетворяет ли функция условию Липшица на отрезке (если m>0) или

на отрезке (если m<0).

Доказательство.

Рассмотрим для m>0:

Зафиксируем два произвольных числа и оценим разность

.

Заметим, что если принадлежат отрезку , то

принадлежат отрезку . Поэтому мы имеем право применить условие Липшица к разности .

Из этого делаем вывод, что функция удовлетворяет условию Липшица на соответствующем отрезке с постоянной , (если , то с константой ).

6.

Докажем, что данная функция не удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство.

По условию Липшица

Покажем, что выполняется обратное

Зафиксируем произвольное

Рассмотрим

Подберем и и получаем:

Тогда

Видим, что условие

выполняется.

Отсюда делаем вывод, что функция не удовлетворяет условию Липшица на промежутке .

РАЗДЕЛ 3

ЗАМКНУТОСТЬ КЛАССА ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим замкнутость класса Липшицевых функций.

Теорема 1.

Пусть функции удовлетворяют условию Липшица на промежутке I, т.е.

и

Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Доказательство.

по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей, получаем, что

Из этого делаем вывод, что существует постоянная , такая что

.

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Теорема 2.

Пусть функции удовлетворяют условию Липшица на промежутке I, т.е.

и

Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Доказательство.

, по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей, получаем, что

Из этого делаем вывод, что существует постоянная , такая что

.

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Теорема 3.

Пусть функции удовлетворяют условию Липшица на промежутке I, т.е.

и

Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Доказательство.

, по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей и модуль произведения равен произведению модулей, получаем, что

Из этого делаем вывод, что существует постоянная , такая что

.

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Теорема 4.

Пусть функции , где отделена от нуля и , удовлетворяют условию Липшица на промежутке I, т.е.

и

Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Доказательство.

по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей и модуль произведения равен произведению модулей, получаем, что

Из этого делаем вывод, что существует постоянная , такая что

.

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Теорема 5.

Пусть число и функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I, т.е.

Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Доказательство.

.

Из этого делаем вывод, что существует постоянная такая что

.

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Теорема 6.

Пусть функции удовлетворяют условию Липшица на промежутке I, т.е.

и

Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Доказательство.

Из этого делаем вывод, что существует постоянная такая что

Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.

Из теорем 1 – 6 следует, что класс Липшицевых функций замкнут относительно линейных операций над ними и относительно композиции функций.

РАЗДЕЛ 4

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ КЛАССОМ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ЛИПШИЦА,
И ДРУГИМИ КЛАССАМИ ФУНКЦИЙ.

В данном разделе рассмотрим как связаны свойств функции удовлетворять условию Липшица с тем, что данная функция может быть непрерывной, ограниченной, монотонной, дифференцируемой, равномерно непрерывной, иметь ограниченную производную или быть функцией ограниченной вариации.

1. Взаимосвязь с классом ограниченных функций.

Теорема 1.

Пусть функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке , тогда функция ограничена на этом отрезке.

Доказательство.

Возьмем значение функции в точке .

по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей, получаем

(условие ограниченности).

Получили, что функция, удовлетворяющая условию Липшица на отрезке, ограничена на этом отрезке.

Обратная теорема неверна. Т.е. не любая ограниченная на отрезке функция удовлетворяет условию Липшица.

В качестве доказательства приведем контрпример.

Данная функция ограничена на отрезке , но условию Липшица на нем не удовлетворяет.

Рис.1

Вывод: множество функций, удовлетворяющих условию Липшица, включено в множество ограниченных функций (и не равно ему). См. рис.1.

2. Взаимосвязь с классом монотонных функций.

Не любая функция, удовлетворяющая условию Липшица на отрезке, является монотонной.

Приведем пример.

(Раздел 2, пример 1).

Данная функция удовлетворяет условию Липшица на всей области определения, но на отрезке не является монотонной.

Не любая монотонная на отрезке функция удовлетворяет условию Липшица на этом отрезке.

Приведем пример.

(Раздел 2, пример 3).

Данная функция монотонна на отрезке , но условию Липшица на этом отрезке не удовлетворяет.

Существуют функции, которые принадлежат обоим классам одновременно.

Приведем пример.

(Раздел 1, линейная функция).

Но, также существуют функции, которые одновременно не принадлежат ни классу монотонных функций, ни классу Липшицевых функций.

Приведем пример.

(Раздел 1, функция Дирихле).

Данная функция не является монотонной и не удовлетворяет условию Липшица.

Рис.2

Вывод: множества монотонных функций и функций, удовлетворяющих условию Липшица, пересекаются, но не совпадают. См. рис.2.

3. Взаимосвязь с классом непрерывных (равномерно непрерывных) функций.

Классы непрерывных и равномерно непрерывных функций на отрезке совпадают, а потому будем рассматривать их вместе.

Теорема 2.

Пусть функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке , тогда функция непрерывна (равномерно непрерывна) на этом отрезке.

Доказательство.

По определению Липшицевых функций

Для того чтобы функция была непрерывной (равномерно непрерывной) на отрезке , должно выполняться следующее:

Зафиксируем произвольное .

По условию

и , пусть

Тогда получаем:

.

Следовательно,

.

непрерывна (равномерно непрерывна) на отрезке .

Обратная теорема неверна.

Не любая, непрерывная на отрезке функция, удовлетворяет условию Липшица на этом отрезке.

В качестве доказательства приведем контрпример.

(Раздел 2, пример 3).

Данная функция непрерывна на отрезке , но условию Липшица на этом отрезке не удовлетворяет.

 

 

Класс непрерывных (равномерно непрерывных) функций

Класс Липшицевых функций

 

 

Рис.3

 

Вывод: множество функций, удовлетворяющих условию Липшица, включено в множество непрерывных (равномерно непрерывных) функций
(и не равно ему). См. рис.3.

 

4. Взаимосвязь с классом функций ограниченной вариации.

Дадим определение функции ограниченной вариации.

Если при всевозможных разбиениях множество значений ограничено, то функция называется функцией ограниченной вариацией на промежутке . Где

 

Теорема 3.

Пусть функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке , тогда функция имеет на этом отрезке ограниченную вариацию.

Доказательство.

По определению Липшицевых функций

Тогда для любого разбиения отрезка имеет место:

Следовательно, функция имеет ограниченную вариацию на отрезке .

 

Обратная теорема.

Функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке , не обязана удовлетворять условию Липшица на этом отрезке.

В качестве доказательства приведем контрпример.

(Раздел 2, пример 3).

Докажем, что данная функция имеет ограниченную вариацию. Для этого воспользуемся свойствами функций, имеющих ограниченную вариацию, и докажем, что она непрерывна и монотонна на отрезке.

Рассмотрим функцию . Точка, подозрительная на точку разрыва Найдем предел этой функции в точке справа и слева и значение функции в этой точке.

.

Предел справа и предел слева равны, а также они равны значению функции в точке , следовательно, функция непрерывна в этой точке, значит, она непрерывна на отрезке .

Теперь .

т.к. , то

Тогда .

Т.к. , то

Следовательно, .

Тогда , значит функция строго возрастает на отрезке , а, следовательно, имеет на нем ограниченную вариацию.

Данная функция имеет ограниченную вариацию на отрезке , но условию Липшица на этом отрезке не удовлетворяет.

Класс функций ограниченной вариации

Класс Липшицевых функций

 

 

Рис.4

 

Вывод: множество функций, удовлетворяющих условию Липшица, включено в множество функций ограниченной вариации (и не равно ему). См. рис.4.

 

5. Взаимосвязь с классом дифференцируемых функций и классом функций, имеющих ограниченную производную.

Теорема 4.

Пусть функция дифференцируема, и имеет на интервале ограниченную производную , и непрерывна на отрезке , тогда функция удовлетворяет условию Липшица на этом отрезке.

Доказательство.

, где .

существует постоянная , такая что

а значит функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке

Примером такой функции служит функция (Раздел 2, пример 2).

 

Теорема 5.

Если функция удовлетворяет условию Липшица и дифференцируема на отрезке , то она имеет ограниченную производную на этом отрезке.

Доказательство.

По условию Липшица:

так же верно

т.к. функция дифференцируема, перейдем к пределу:

. Из этого делаем вывод, что если функция удовлетворяет условию Липшица и дифференцируема на отрезке , то она имеет ограниченную производную на этом отрезке.

 

Существуют такие дифференцируемые функции, производные которых не ограничены и сами функции не удовлетворяют условию Липшица.

Приведем пример.

(Раздел 2, пример 6).

Данная функция дифференцируема на отрезке, но условию Липшица не удовлетворяет.

 

Существуют не дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Приведем пример.

(Раздел 5,пример в)

Данная функция не дифференцируема, но удовлетворяет условию Липшица.

 

Класс дифференцируемых функций

Класс функций, имеющих ограниченную производную     Класс Липшицевых функций

 

Рис.5

 

Вывод: класс дифференцируемых функций пересекается с классом Липшицевых функций, а их пересечение, в свою очередь, содержит класс функций, имеющих ограниченную производную. См. рис.5.

 

Соберем, для наглядности, все полученные данные в схему:

 

Функции, удовлетворяющие условию Липшица

Ограниченность

Монотонность

Ограниченная производная

Равномерная непрерывность

Непрерывность

Ограниченная вариация

Дифференцируемость

 

 

РАЗДЕЛ 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА

Для функции условие Липшица — это ограниченность по модулю угловых коэффициентов всех хорд графика функции.

По определению Липшицевых функций имеем:

.

Очевидно, эквивалентно условию, что

.

Выражение в левой части неравенства — это угловой коэффициент хорды
(рис.6, a).

Например, функция на отрезке не удовлетворяет условию Липшица, т. к. вблизи точки хорды графика становятся сколь угодно близкими к вертикали (рис.6, б).

Функция (не всюду дифференцируемая) удовлетворяет условию Липшица с константой , т.к. угловой коэффициент хорд графика, очевидно, по модулю не больше единицы (рис.6, в).

Рис.6

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В курсовой работе был рассмотрен класс липшицевых функций. Мной были разобраны примеры некоторых функций, принадлежащих и не принадлежащих данному классу. Мне удалось доказать, что данный класс замкнут относительно линейных операций над функциями, ему принадлежащими, и относительно композиции функций. Также мной была установлена связь функций, удовлетворяющих условию Липшица с такими свойствами функций, как непрерывность, ограниченность, монотонность, дифференцируемость, равномерная непрерывность, наличие ограниченной производной и является ли функция функцией ограниченной вариации.

Данный материал может быть использован нами в дальнейшем изучения курса математического анализа, в частности, в исследовании дифференцируемых функций и в теории рядов.

Работа оформлена в соответствии с «общими требованиями к оформлению и изложению документов учебной деятельности обучающихся» (СТО 89-03.5 – 2013).

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. — Киев: Радянська школа, 1979.
http://bookre.org/reader?file=791125&pg=315

2. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу.
— М.: Просвещение, 1981.

3. Шибинский В.М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3т.Т.1.
— М.: Высшая школа, 1988. — 712 с.

5. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Куницкая Е.С. Математический анализ. Дифференциальное исчисление, — М: Просвещение, 1984. — 175 с.

6. Зорич В.А. Математический анализ, ч. 1. — М.: Фазис, 1997. — 568 с.

7. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] – Режим доступа:
http://www-sbras.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode/m-22/m-22.html.
(Дата обращения: 28.05.2013).

 

[1] Бородин А.И., Бугай А.С. «Биографический словарь деятелей в области математики», Киев: Радянська школа, 1979г. (стр. 313)

[2] Теорема Лагранжа. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a,b ] и дифференцируема во всех внутренних точках отрезка. Тогда в интервале (a,b) найдется точка c (a<c<b), в которой выполняется равенство .

[3] Правило Лопиталя. Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U точки a (т.е. дифференцируемы во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки a), причем g’(x) отлична от нуля в U и пусть Тогда, если существует то существует и причем эти пределы равны:

Поиск по сайту:

---