 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Основные оригиналы и их изображения
Основные формулы и теоремы.
Изображением функции 
по Лапласу называется функция 
комплексного переменного 
, определяемая равенством
Основные оригиналы и их изображения.
1) 
, 
; 5) 
, 
;
2) 
, ; 6) 
, 
;
3) 
, 
; 7) 
, .
4) 
, ;
Теорема подобия. Если 
и действительное число 
, то
.
Теорема запаздывания. Если и 
при 
оригиналы, то при имеем
.
Изображение периодического оригинала. Если оригинал является периодической функцией с периодом а, т. е. 
, то изображение такой функции находится по формуле:
и определено в области .
Теорема смещения (затухания). Если , 
, то при любом комплексном а
, 
.
Изображение производной (дифференцирование оригинала). Если является оригиналом, причём , и существуют производные 
, являющиеся оригиналами, то изображение 
находится следующим образом:
,
где 
правые предельные значения функции и её производных в точке 
.
Операторное уравнение. Если
,
то
или
Дифференцирование изображения. Если , то
,
причём, второе из этих равенств справедливо в той же полуплоскости, что и первое.
Свёрткой двух функций 
и 
называется функция, определённая следующим равенством:
.
Умножение изображений. Если 
, 
, то
или 
.
Интегрирование оригинала. Если , то
или 
.
Теорема обращения. Если 
и 
является дробно-рациональной функцией со степенью числителя, меньшей степени знаменателя и знаменатель имеет корни 
кратности 
, то оригинал определяется по формуле:
.
Если 
, то оригинал можно найти, пользуясь равенством:
.
При отыскании частного решения дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями часто применяется формула Дюамеля.
Формула Дюамеля. Пусть 
, 
, 
‑ оригиналы и , 
, тогда имеет место формула
,
или
.
Пусть теперь нужно решить уравнение
с нулевыми начальными условиями: 
.
Составим вспомогательное уравнение с такими же коэффициентами 
и с правой частью, равной единице: 
, 
.
Можно доказать, что если, как обычно, обозначить 
, , 
, то функции 
и 
связаны соотношением 
. Из этого соотношения следует, что 
. Применяя формулу Дюамеля и учитывая, что 
, получаем искомое решение в виде 
или 
.
Поиск по сайту: