АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Системи лінійно незалежних функцій

Читайте также:
  1. I. Основні риси політичної системи України
  2. V. 2. Механічне описання молекулярної системи
  3. Автоматизовані системи управління процесом розформування составів на сортувальних гірках
  4. Адаптивні типи людини. Антропоекологічні системи і здоров'я.
  5. Аналіз роботи системи
  6. Англо-американський (прецедентний) тип правової системи
  7. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн
  8. Валютний ринок і валютні курси. Системи гнучких і фіксованих валютних курсів: порівняльна ефективність
  9. Валютний ринок і валютні системи
  10. Валютні і фінансові елементи системи
  11. Валютні системи та валютна політика. особливості формування валютної системи України
  12. Взаємозв'язок ІС обліку з іншими підсистемами інформаційної системи підприємства.

Означення.Функції y ,…,y називаються лінійно залежними на множині Х, якщо існує набір чисел α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, таких, що α +…+α ≡0 для будь-яких х є Х.

Якщо це визначення не виконується, то функції y ,…,y називаються лінійно незалежними.

Приклад (лінійно незалежних). Функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні. Якщо допустити, що вони залежні, то (не всі рівні 0) такі, що α х…+α х 0 для всіх х є [a;b], а це протиріччя основної теореми алгебри. Значить функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні.

Теорема. Нехай дана система лінійно залежних функцій y ,…,y на множині Х. Тоді визначник Вронского:

на множині Х.

Доведення.Оскільки y ,…,y лінійно залежні то існує набір α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, для яких виконується тотожність , тоді y ,…,y задовольняють системі

, для будь-якого х є Х.

Система відносно (α …α ) має не тривіальне рішення для будь-якого х є Х. Таким чином, з курсу алгебри маємо, що W(х)=0, х є Х.

Теорема. Нехай y ,…,y –лінійно незалежна система рішень однорідного лінійного рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=0 такого, що – визначені і неперервні на [a;b]. Тоді для будь-якого х є [a;b] визначник Вронского відмінний від нуля W(х) 0.

Доведення.Припустимо противне, що в деякій точці x є[a;b] W(х )=0.Візьмемо функцію у= , де α …α –довільні константи, тоді у - рішення даного рівняння.

Розглянемо систему:

Для даної системи W(х )=0, виходить, система має нетривіальне рішення, тобто існує набір α …α , для якого не всі α дорівнюють нулю і такий, що задовольняє системі. Розглянемо у, коли в якості (α …α ) узято указане нетривіальне рішення системи, тоді маємо

.

Таким чином, у= є нетривіальним рішенням рівняння з нульовими початковими умовами у точці . Зазначимо, що функція у 0 задовольняє нульовим початковим умовам і рівнянню. Оскільки коефіцієнти рівняння задовольняють теоремі про існування та єдиності рішення, то у= , що протирічить лінійній незалежності таким чином наше припущення не вірно, тобто W(х) 0 для будь-якого х є [a;b].

Теорема.Нехай дане лінійне однорідне рівняння: y +p (x) y +…+p (x)y=0,де p …p –визначені і неперервні на [a;b] , –лінійно незалежна система рішень даного рівняння, тоді у=с +…+с , де с – довільні константи, є загальним рішенням даного рівняння.



Доведення. Зразу відмітимо, що згідно властивостей рішень лінійного однорідного рівняння у=с +…+с - рішення рівняння. Покажемо, що рішення будь-якої задачі Коші для даного рівняння можна отримати з рішення у=с +…+с , якщо взяти відповідні значення с . Нехай в будь-якій точці є[a;b] задані довільні початкові умови

.

Підставляючи замість у його значення, отримаємо

Визначник даної системи є визначник Вронского і W( ) 0 , в силу попередньої теореми, отже система має нетривіальне рішення, підставляючи яке в у одержимо шукане рішення задачі.

Наслідок. Лінійне однорідне рівняння n-го порядку має n-лінійно незалежних рішень.

Означення.Будь-який набір з n-лінійно незалежних рішень лінійного однорідного рівняння називається фундаментальною системою рішень.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.024 сек.)