АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка

Читайте также:
  1. Cутність та умови застосування міжнародних розрахунків за допомогою акредитивів.
  2. II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
  3. III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
  4. IV Хіміотерапевтичні препарати. Принципи класифікації. Застосування.
  5. IV. — Мишель Турнье и мир без другого
  6. XIV. 7. Вимірювання електрорушійних сил. Застосування методу вимірювання ЕРС для визначення різних фізико – хімічних величин
  7. А. Рішення на застосування одного з перших трьох режимів радіаційного захисту
  8. Акти застосування права: поняття, ознаки, види, структура
  9. Акти офіційного тлумачення (інтерпретаційні акти) – це правові акти, прийняті компетентними державними органами, що містять роз’яснення норм права або порядку їх застосування.
  10. Акти правозастосування, їх види
  11. Антигенная структура бактерий. Групповые, ввдовые, типовые антигены. Перекрестнореагируюшие антигены. Антигенная формула.
  12. Апериодическое звено второго порядка.

Теорема (Остроградського – Ліувілля). Нехай дано однорідне рівняння

y +p (x)y +…+p (x)y=0, де p …p –неперервні на [a;b] і (y ,…,y )–фундаментальна система рішень, тоді справедлива формула W(х)=с , (с – довільна константа), або W(х)= W( ) .

Доведення.Враховуючи властивості визначника і диференціювання, а також той факт, що y ,…,y є рішення даного рівняння, отримаємо

.

Отже, визначник Вронского задовольняє наступне рівняння W′ = - p (x)W. Розв’язуючи яке будемо мати W(x) = с , або W(x) = W( .

Зауваження.Розглянемо y′′+p (x)y′+p (x)y=0 – рівняння другого порядку, тоді, якщо у - будь-який розв’язок рівняння, то можна знайти загальне рішення в такий спосіб. Нехай у - загальне рішення, розглянемо рівність

.

Отже, відносно у отримаємо рівняння першого порядку yy′ - y′y =c , розв’язуючи яке знайдемо загальний розв’язок вихідного рівняння.

Приклад. y′′+y′ - =0. За допомогою підстановки легко довести, що y=x рішення рівняння. Відповідне рівняння для загального рішення даного рівняння має вид y -y′x= – лінійне рівняння першого порядку. Для його розв’язку знайдемо розв’язок рівняння y′x=y або . Отже y=cx. Загальний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді y=c(x) x, де c(x) невідома функція. Підставляючи цей y у рівняння отримаємо

c′x²+c(x) x – c(x) x+ =0, тобто c′= . Отже c(x) = dx і y= dx.

Зауваження.Аналогічно можна застосовувати формулу і у випадку рівняння n-го порядку коли відомі будь-які незалежні рішення рівняння, що буде приводити до зниження порядка рівняння на 1.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)