АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні рівняння з частинними похідними

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  3. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  4. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  5. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  6. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  7. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  8. Диференціальні рівняння вищих порядків
  9. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  10. Диференціальні рівняння другого порядку
  11. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  12. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Розглянемо деякий клас рівнянь безпосередньо зв’язаний з системами звичайних диференційних рівнянь.

Припустимо, що дана система (*) та інтеграл системи.

Нехай х1 незалежна зміна, а х2,…,хп+1 функції від х1, що являються розв’язком системи. Підставляючи х2,…,хп+1 у ми отримаємо const, звідки слідує, що її повна похідна по х1 зведеться до нуля, тобто

або

Оскільки хі (і=2,…,п+1) розв’язки системи (*) то dxi пропорційні Хі отже зробивши заміну dxi на Хі отримаємо для φ наступне рівняння

Функція φ(х1,…,хп+1) має задовольнити цьому рівнянню незалежно від того які розв’язки ми в неї підставимо. Але в силу довільних початкових умов в теоремі існування, значення змінних х1,…,хп+1 може бути будь яким (якщо ми беремо всі розв’язки системи (*)), тобто φ має задовольняти рівнянню (**) тотожно відносно х1,…,хп+1. Отримали теорему.

Теорема 1. Якщо φ(х1,…,хп+1)=с інтеграл системи (*), то φ(х1,…,хп+1) – розв’язок рівняння (**).

Теорема 2.Якщо φ який не будь розв’язок(**), то φ(х1,…,хп+1)=с – інтеграл системи (*).

Доведення. Підставимо в φ(х1,…,хп+1) будь який розв’язок системи (*) і візьмемо повний диференціал

Оскільки хі (і=1,…,п) розв’язок системи (*) то (λ – коефіцієнт пропорційності). Тоді

(φ – розв’язок (**)).

Тобто dφ(х1,…,хп+1)=0. В нашому випадку φ(х1,…,хп+1) (після підстановки х2,…,хп+1) – залежить лише від х1, але оскільки dφ=0, то похідна φ по х1 дорівнює 0. Інакше кажучи, після підстановки у φ розв’язку системи (*) (х2,…,хп+1) функція φ не залежить від х1 тобто являється const – отже φ(х1,…,хп+1)=с інтеграл системи (*).

Зауваження.Якщо φі1,…,хп+1)=сі і=1,…,п,-п незалежних інтегралів системи (*), то довільна функція F1,…, φ п) – розв’язок рівняння (**).

Це безпосередньо випливає з теореми 1 і властивостей інтегралів системи.

Можна показати, що при виконанні деяких умов будь який розв’язок рівняння (**) виражається формулою F1,…, φ п), де F – довільна, а φ1,…, φ п незалежні інтеграли системи.

Таким чином ми отримаємо правило розв’язання рівняння (**).Щоб знайти загальний розв’язок рівняння з частинними похідними (**), треба скласти систему звичайних диференційних рівнянь (*) та знайти п незалежних інтегралів цієї системи. Загальний розв’язок рівняння (**) буде мати вигляд φ=F1,…, φ п+1) деF довільна функція.



Приклад. .

Відповідна система

має незалежні інтеграли

.

Загальним розв’язком початкового рівняння є .

Знайдемо вид F такий, щоб поверхня проходила через пряму x=1 y=z.

З вище вказаних рівностей х=1, у=с1, 1+2у22 ,

або ,

тобто .

або

шукана поверхня.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)