АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні рівняння першого порядку

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  3. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  4. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
  5. Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
  6. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  7. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  8. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  9. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  10. Диференціальні рівняння вищих порядків
  11. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  12. Диференціальні рівняння другого порядку

Означення. Рівняння виду y′=а(х)у+b(х) називається лінійним рівнянням першого порядку.

Теорема.Нехай а(х), b(х) неперервні на [a, b], тоді задача Коші в будь-якій точці смуги [a,b] має єдине рішення.

Доведення теореми випливає з загальної теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, оскільки f(x,y)=а(х)у+b(х) неперервна на області [a,b] , а обмежена (а(х) – неперервна на [a, b]).

Знайдемо рішення рівняння методом невизначених коефіцієнтів. Спочатку вирішимо однорідне рівняння y′=а(х)у, або =a(x)dx. Інтегруючи, будемо мати . Отже ln|y|=∫a(x) dx+lnc, c>0, або y=c .Рішення лінійного рівняння будемо шукати у вигляді y=c(х) , де c(х) – невідома функція.

Оскільки y=c (х) , то y′= c (х) +c(x) a(x) . Підставляючи y та y′ у рівняння y′=а(х)у+b(х) будемо мати c′ (х) +c(x) a(x) =a(x) c(x) + b (х). Отже c′ (х) = b (х) , або с (х)= ∫ b(х) dx. Таким чином отримаємо розв’язок рівняння у вигляді y(x) = (∫ b (х) dx)∙ .

Приклад. Розв’язати y′=xy+x .

Оскільки а(х)=х, а b(х)= x² маємо y=(∫ x²∙ dx) =(∫ x²∙ dx) .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)