|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
В однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготенияФункция Лагранжа . Если учесть то из определения действия - целое кратное (, »6.63×10-34 Дж×с – постоянная Планка, или квант действия). ; , если . Получим закон сохранения энергии Воспользуемся уравнениями движения в форме Гамильтона, чтобы получить закон сохранения энергии для простейшей замкнутой системы.
РИС. 2-17
Рассмотрим систему из 2-х частиц, способных двигаться только по направлению . Гамильтониан этой системы (все аргументы зависят от времени). Чтобы доказать закон сохранения энергии, нужно убедиться в том, что полная энергия не зависит от времени. Продифференцируем по времени: . Уравнения Гамильтона для этой системы: . Подставим: , т. е. . Вывод: Полная энергия сохраняется (не зависит от времени).
Финитное и инфинитное движение частицы
РИС. 2-18
Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия, можно судить о характере движения частицы. Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, это - финитное движение, если двигается как угодно далеко - инфинитное. Пример финитного движения - потенциальная яма, или движение с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения. До сих пор мы всегда относили движение к одной из бесчисленных ИСО, в которых уравнение движения может быть записано или в ньютоновой форме , или в гамильтоновой форме . Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета, т.е. найти законы преобразования ускорений и сил. При этом мы обязаны постулировать: расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся.
Это справедливо только для малых скоростей движения, когда скорости движения тел в системах и скорости относительного движения систем малы по сравнению со скоростью света в вакууме.
II. Движение в неинерциальных системах отсчета
1. Система движется по отношению к системе поступательно с некоторой скоростью и некоторым ускорением . РИС. 3-1
- радиус-вектор начала системы , - радиус-вектор точки в системе , - радиус-вектор точки в системе . Очевидно, что в системе (которую считаем неподвижной) , . Если элементарное перемещение точки в системе есть , то это элементарное перемещение складывается из перемещения вместе с системой и перемещения в системе . Поделив на , получаем формулу преобразования скоростей: , , . Продифференцировав закон преобразования скоростей по времени, получаем закон преобразования ускорений: , . Сразу видно, что, если , т. е. система - инерциальная, то . (Вспомним определения ИСО!) Умножим в последней формуле правую и левую части на массу частицы : . Здесь - равнодействующая всех сил, действующих на частицу в неподвижной системе отсчета, - некая добавочная сила, возникающая только из-за того, что система отсчета является неинерциальной (опять вспомним ИСО - если система отсчета будет двигаться без ускорения, т.е. , то и эта сила =0). Это - сила инерции: = - .
Основное уравнение динамики (2-ой закон Ньютона) в неинерциальной системе отсчета:
2. Система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе . РИС. 3-2
1)Обе системы отсчета имеют общее начало . Радиус-вектор точки будет одним и тем же в обеих системах отсчета: .
2) Точка в системе неподвижна. Значит, движение этой точки в системе происходит только за счет вращения системы . Перемещение: Допустим теперь, что точка движется в системе со скоростью . Суммарное перемещение этой точки за время будет: (Здесь первое слагаемое – перемещение за счет движения Поделив на и вспоминая, что , имеем: – так изменяется скорость.
3) Приращение вектора скорости за время (измеряется в системе ): - это просто полный дифференциал закона преобразования скоростей. Приращение вектора скорости за тот же интервал времени в системе : . РИС. 3-3
В выражение для подставляем и : Поделив на , находим закон преобразования ускорений: Преобразуем двойное векторное произведение типа , пользуясь правилом «бац-цаб»:
, где учтено , - радиус-вектор, кратчайшим путем соединяющий точку с осью вращения, а также правило сложения векторов.
РИС. 3-4
Итак, , - осестремительное ускорение, - кориол и сово (ударение на подчеркнутом «и») ускорение.
Если теперь предположить, что вся неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с поступательным ускорением , то ускорение точки в инерциальной системе отсчета будет: для , для . Последнее выражение -
основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета , вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся с ускорением относительно инерциальной системы .
- инерциальная система, - неинерциальная. Умножая данное уравнение слева и справа на и учитывая, что в инерциальной системе отсчета , имеем: , или , где - сила инерции, обусловленная поступательным ускорением системы отсчета , - центробежная сила, направлена по нормали! (Рис. 3-4) - кориол и сова сила; направлена по тангенциальной составляющей! и обусловлены вращением системы отсчета .
Силы инерции зависят от свойств неинерциальной системы отсчета, а также от положения и скорости частицы в данной системе отсчета. Проявление центробежной силы инерции – уменьшение ускорения свободного падения по мере удаления от полюсов и приближения к экватору, а вот размыв правых берегов рек в северном полушарии (закон Бэра) – пример тангенциональной силы. РИС. 3-5
Обратите внимание: сила - нормальная к поверхности! Радиус Земли - . Заменим его вместо r. - на полюсах , на экваторе . , где - ускорение свободного падения на полюсах, - широта местности. Задача: поворот плоскости качания маятника Фуко за счет кориол и совой силы. Решение этой задачи французским ученым Фуко в 1852 г. доказало вращение Земли. При колебании маятника на полюсе плоскость его колебаний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью вращения Земли -15 градусов в час. В ИСО плоскость остается неизменной! . Эта сила направлена вправо по ходу маятника и лежит в горизонтальной плоскости. РИС. 3-6
Особенности сил инерции 1) Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета и обусловлены не взаимодействием тел (как все прочие силы), а свойствами систем отсчета. 2) Силы инерции пропорциональны массе тела, подобно силам тяготения. Следовательно, движение тел в однородном поле сил инерции эквивалентно движению в однородном поле сил тяготения.
Отсюда - принцип эквивалентности Эйнштейна: в однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготения.
Смысл таков. Допустим, мы не знаем, где находится лаборатория – в космическом пространстве, в невесомости, на Земле, или совершает поступательное движение с некоторым ускорением, или вращается с постоянной угловой скоростью относительно неподвижной оси. Мы замечаем только, что все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением. При этом мы не можем сделать вывод о природе этого явления - вызвано это полем тяготения, или ускоренным движением лаборатории, или обеими этими причинами.
Момент количества движения(момент импульса) РИС. 3-7
- неподвижное начало отсчета (полюс), - радиус-вектор, - импульс.
Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки называется вектор , .
Компоненты: . Рассмотрим теперь, каким образом и по какой причине момент количества движения (момента импульса) изменяется во времени. Для этого продифференцируем по времени: . Первое слагаемое есть векторное произведение коллинеарных векторов (геометрический смысл: прямые проходящие в направлении векторов параллельны) () и поэтому равно нулю: . Во втором слагаемом - сумма всех сил, действующих на частицу. Отсюда , - момент сил, действующих на частицу,
- уравнение моментов. Заметим, что, если система отсчета является неинерциальной, то момент сил включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции. Из уравнения моментов сразу видно, что при и, следовательно, . Важное свойство: Если момент равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку, равен нулю относительно некоторой точки и в течение некоторого промежутка времени, то момент количества движения относительно той же точки остается постоянным в течение этого же промежутка времени.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.019 сек.) |