УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Рассмотрим схему стационарного 3-х мерного потока в РК ЛМ.

Рис. 2.9. Рис. 2.10.

w - const, т.к. поток стационарный.

Выделяем частицу А массой dm. Мысленно затормозим РК и рассмотрим силы, действующие на частицу А.

S_W – траектория точки в относительном движении

w – вектор относительной скорости

d R – вектор силы, с которой лопатка действует на частицу (d R ^ d w)

d T – сила трения

d P_p – сила давления, с которой среда воздействует на частицу.

Инерционные силы:

d P _Ц/Б - центробежная сила, направленная от центра к периферии по радиусу.

Модуль этой силы |d P _Ц/Б | = w².r.dm, r – расстояние до центра вращения.

d P _Кор - кориолисова сила, должна быть перпендикулярна вектору относительной

скорости w (d P _КОР ^ d w) и вектору угловой скорости w (d P _КОР ^ d w ). По модулюсила Кориолиса равна |d P _Кор | = dm.| w |.| w |.sin( w ^ w ).

Мы затормозили поток только в переносном движении, в относительном движении поток продолжает проходить между лопатками, причём движется ускоренно под действием равнодействующей всех сил. Запишем 2й закон Ньютона для частицы:

Перейдём от векторной записи к скалярной. Для этого:

1) Введём систему координат с центром в точке А и такими осями:

1я ось – s_w – касательная к траектории частицы s_w’ в точке А

2я ось – n_w – нормаль к траектории частицы s_w’ в точке А

3я ось – l_w – направление, нормальное к обеим осям.

2) Выделим элементарный объём с геометрическим центром в точке А, сориентируем его по осям s_w, n_w, l_w, рисунок 2.11.

Рис.2.11. Рис.2.12.

3) Спроецируем векторное уравнение на ось АS_w.

Разделим на dm все члены уравнения, учтём также, что dm = rds_W dn_W dl_W.

Определим, чему равен cosy? За бесконечно малое время dt частица переместится в направлении s_W на ds_W, а в направлении r на dr. В системе координат s_w, n_w, l_w вектор r занимает общее положение с вообще говоря ненулевыми проекциями по всем трём осям. С осью s_w вектор r составляет угол y.

Из прямоугольного треугольника очевидно, что cosy = dr/ds_W.

Здесь - удельная сила, изменяющая давление на частицу;

- удельная сила трения;

- удельная инерционная сила.

Умножим обе части уравнения на ds:

Здесь - удельная работа по изменению давления;

- удельная работа сил трения, обозначается dL_r;

- удельная работа инерционных сил;

- удельное изменение кинетической энергии потока в относительном движении.

В окончательном виде получаем:

(5)

Это уравнение сохранения энергии в механической форме в относительном движении в дифференциальном виде.

Проинтегрируем это выражение в пределах от входа (·1) до выхода (·2) РК:

(6)

Это уравнение сохранения энергии в механической форме в относительном движении в интегральном виде.

Уравнения сохранения энергии в относительном движении используют только для потока в рабочих колёсах.

Пример 1. Рассмотрим центробежный насос (только рабочее колесо).

В меридиональном сечении изобразим одномерную схему.

На входе: ;

на выходе: ; r - const.

Рис. 2.13.

В окружном сечении изобразим двумерную схему потока.

Построим треугольники скоростей на входе и на выходе РК. Из них очевидно, что w₂ < w₁. Перенесём соответствующую компоненту формулы в левую часть:

Рис. 2.14.

Давление рабочего тела в РК ЦБН возрастает за счет инерционных сил , за счёт преобразования части кинетической энергии в потенциальную в относительном движении вопреки гидравлическим потерям .

Замечание. Если используется осевое РК в насосе, то формула примет вид:

Пример 2. Рассмотрим центростремительную турбину (только рабочее колесо).

В меридиональном сечении изобразим одномерную схему потока.

Рис.2.15. Рис.2.16.

В окружном сечении изобразим двумерную схему потока.

Построим треугольники скоростей на входе и на выходе РК. Межлопаточные каналы сужаются, в следствие чего относительная скорость возрастает.

,

причём <0; <0

Работа расширения газа в РК ЦСТ идёт на преодоление инерционных сил , на увеличение кинетической энергии потока в относительном движении и на преодоление гидравлического сопротивления .

Поиск по сайту: