Основные законы логики классов. Законы операций объединения и пересечения

Законы идемпотентности.

А + А = А

А * А = А

В школьном курсе алгебры таких законов нет. В логике первый из этих законов означает следу­ющее. Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то получим класс «дом», т. е. домов не ста­нет в два раза больше и объем понятия «дом» оста­нется прежним.

Законы коммутативности. Эти законы су­ществуют в алгебре, арифметике, теории мно­жеств и логике классов.

А + В =В + А

А * В = В * А

Если мы к классу «растение» прибавим класс «животное», то получим класс «организм»; тот же самый класс получим, если мы к классу «живот­ное» прибавим класс «растение».

Законы ассоциативности. Они существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и логике классов.

(А + В) + С = А + (В + С)

(А * В) * С = А * (В * С)

Законы дистрибутивности.

(А + В) * С = (А* С) + (В * С)

(А * В) + С = (А + С) * (В + С)

Законы поглощения. Этих законов нет в арифметике и в школьном курсе алгебры.

А + (А * В) = А

А * (А + В) = А

Доказательство этих законов осуществляется графическим методом (Рис. 13, 14).

Рис. 13 Рис. 14

Промежуточный результат изображен гори­зонтальной штриховкой. В первом законе погло­щения он равен A*В, а во втором — равен А+В, Ко­нечный результат изображен вертикальной штри­ховкой: он равен классу А.

Вычитание классов. Рассмотрим два множества (класса) А и В, из которых Вможет и не быть частью А. Разностью множеств (классов) А и Вназывается множество тех элементов класса А, которые не являются эле­ментами класса В. Разность обозначается А – В.

Могут встретиться следующие пять случаев (если класс А и Вне пусты и не универсальны).

1-й случай (рис. 15). Класс Авключает в себя класс В. Тогда разностью А — Вбудет заштрихованная часть А, т. е. множество тех элементов, которые не суть В. Например, если мы из множества звуков русского языка (А)вычтем множество гласных звуке (В),то получим множество согласных звуков, изображенное чертеже в виде заштрихованного кольца.

Рис. 15 Рис. 16

2-й случай (рис. 16). Разностью двух перекрещивающихся классов будет заштрихованная часть А. Например, разность множеств «рабочий» (А)и «рационализатор» (В)даст множество рабочих, которые не являются рационализаторами.

3-й Случай (рис. 17). Если класс А полностью включен в класс В и класс В полностью включен в класс А, то эти классы (множества) равны (тождественны). Тогда разность А — В даст пустой, или нулевой, класс, т. е. класс, в котором нет ни одного элемента. Например, если мы из класса «сосна» вычтем класс «сосна», то разность А—В будет равна пустому классу.

А – В = ø А – В = А

Рис. 17 Рис. 18

4-й случай (рис. 18). Класс А и класс В не имеют общих элементов. Тогда разность А — В=А, так как всякий элемент класса А не является элементом класса В. Например, разность класса «стол» (А) и класса «стул» (В) равна классу «стол» (А).

В результате «вычитания» классов, соответствующих поняти­ям, находящимся в отношении противоположности [«низкий дом» (А), «высокий дом» (В)] или противоречия [«одушевленный предмет» (А), «неодушевленный предмет» (В)], разность А — В также равна А (рис. 19, 20).

А – В = А А – В = А А – В = ø

Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21

5-й случай (рис.21). Если объем класса А меньше объема класса В, то в результате вычитания получим пустой класс, так как нет элементов класса А, которые не являлись бы элементами класса В. Например, разность класса «личное местоимение» (А) и «местоимение» (В) дает пустой класс.

Для операции вычитания классов справедливы следующие законы:

1. А – В ≤ А

2. А ≤ В ↔ А – В = ø

3. А = (А *В) + (А – В)

4. В * (А – В) = ø

5. В ≤ В – (А – В)

В интерпретации логических алгебр посредством классов за­пись А ≤ Вобозначает включение класса А в класс В; А↔Вобозна­чает эквивалентность классов (А тогда и только тогда, когда В).

Дополнением к классу А называется класс А', который, будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении с классом А дает ø, т. е. Для которого А + А' = 1 и А' * А = ø. Откуда А' = 1 – А, поэтому операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операции «вычитания» (из универсального класса). Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных чисел (А), то мы получим класс нечетных чисел (т. е. А', поскольку всякое целое число четное или нечетное и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными). Графически это можно изобразить так, что заштрихованная часть будет обозначать дополнение к А т. е. А' (рис. 22).

Рис. 22

Для операции дополнения кроме указанных выше установлены и следующие законы: 1’ =; (ø)' = 1; (А')'=А.

Поиск по сайту: