|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Наиболее простая теория, описывающая работу линии передачи с волной типа Т была построена очень давно и уравнения
Наиболее простая теория, описывающая работу линии передачи с волной типа Т была построена очень давно и уравнения, описывающие процессы в такой линии, получили название телеграфных уравнений. Это система двух дифференциальных уравнений 1-го порядка. Они вводят понятие токов и напряжений в линии. В этой теории линия передачи представляется последовательностью периодически повторяющихся L, R и C, G цепочек. Рис.2.1. Эквивалентная схема отрезка линии длиной
здесь R – погонное сопротивление и G – погонная проводимость характеризуют, соответственно, потери в металле и в диэлектрике, L – погонная индуктивность; C погонная емкость.
Уравнения длинной линии имеют вид: где V и I мгновенные значения напряжения и тока. Если временная зависимость полей вводится как , то Решение этих уравнений имеет вид: (2.5.) где ; . При отсутствии потерь ; (2.6) β - коэффициент фазы (м-1), связанный с длинной волны в линии передачи λв, круговой частотой и фазовой скоростью vф соотношением: Учитывая, что погонная индуктивность L меняется при изменении геометрии линии в меньшей степени чем погонная емкость С, легко, используя (2.6) понять, как изменяется zв при изменении геометрии линии. Введем далее обозначения: где – комплексная амплитуда волны напряжения, распространяющейся в сторону увеличения координаты x (падающая волна). - комплексная амплитуда волны напряжения, распространяющейся в линии навстречу падающей, эта волна носит название отраженной. Тогда полные напряжения и ток в сечении линии x могут быть записаны как (2.7) Падающая и отраженная волны движутся навстречу друг другу с изменяющейся фазой, в результате чего в распределении напряжения и тока вдоль тракта возникают максимумы и минимумы. Рис.2.2 Распределение напряжения и тока вдоль линии
Отношение называется коэффициентом отражения по напряжению и обозначается как . (2.8) Так как напряжения падающей и отраженной волн пропорциональны поперечным компонентам соответствующих электрических полей и имеют одинаковые с ними фазы, то коэффициент отражения по напряжению совпадает с коэффициентом отражения по электрическому полю. Учитывая (2.8) выражения для напряжения и тока можно записать в виде (2.9) Принимая, что где и значения комплексных амплитуд падающей и отраженной волн в некотором сечении можно записать, что При отсутствии потерь (α=0)
Из (2.9) следует, что напряжение в максимуме равно: (2.10) Отношение называется коэффициентом бегущей волны КБВ, обратное отношение - коэффициентом стоячей волны КСВ. Учитывая (2.10) можно записать Отсюда следует, что КБВ в линии меняется от 1 до 0 при изменении коэффициента отражения от 0 до 1, а КСВ соответственно от 1 до бесконечности. Отношение напряжения к току в некотором сечении ξ линии называется эквивалентным полным сопротивлением линии в этом сечении (2.11) Эквивалентное полное сопротивление в заданном сечении имеет тот физический смысл, что оно является входным сопротивлением отрезка линии длиной, равной расстоянию от сечения до сечения входа нагрузки, с подключенной на конце нагрузкой. На практике вместо продольной координаты ξ удобно ввести координату с нулевым значением в некотором произвольном сечении линии и положительным отсчетом в направлении от нагрузки к генератору (рис.2.3)
Рис.2.3 Замена продольной координаты В этом случае соотношения (2.9) для тока и напряжения выглядят следующим образом (2.12) коэффициент отражения имеет соответственно вид При отсутствии в линии потерь (α=0) Отсюда коэффициент отражения в сечении может быть определен через известное значение в сечении с помощью соотношения (2.13) где положительно, если сдвиг от сечения осуществляется в сторону генератора, и отрицательно, если сдвиг в сторону к нагрузке. Из (2.13) следует, что в линии без потерь модуль коэффициента отражения не зависит от координаты , а фаза меняется от 0 до 2π на интервале, равном половине длины волны в линии. Теперь можно связать значение сопротивления нагрузки в сечениях и Используя для экспоненты представление получаем Поделим числитель и знаменатель на величину . С учетом того, что получаем соотношение, связывающее сопротивления в сечениях линии и (2.14) Для проводимости аналогично можно получить представленное ниже выражение (2.15)
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З а д а ч а 1. Бесконечная заряженная плоскость с поверхностной плотнос-тью заряда 6,00 нКл/м2 расположена перпендикулярно бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда -5,00 нКл/м. На биссектрисе угла между плоскостью и нитью на расстоянии 500 мм от вершины угла находится точечный заряд -10,0 нКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от его вершины на расстоянии 100 мм; разность потенциалов электрического поля между двумя точками, расположенными на биссектрисе угла на расстоянии 100 и 300 мм от вершины.
(1) Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем инерциальную систему отсчета и находим проекции всех векторов на координатные оси: (2) Значение напряженности полей, создаваемых каждым электрическим зарядом, вычислим по формулам: для бесконечной заряженной плоскости - , (3) где - электрическая постоянная (см. прил.); для бесконечно длинной заряженной нити – , (4) где - кратчайшее расстояние от нити до точки 1; для точечного электрического заряда – . (5) С учетом формул (3) - (5) получим: (6) Проверяем единицы измерения: Производим вычисления: Величину напряженности в точке 1 найдем по формуле: (7) Для вычисления разности потенциалов между точками 1 и 2 электри-ческого поля воспользуемся связью между разностью потенциалов поля и напряженностью этого поля (8) и принципом суперпозиции электрических полей (потенциал результирующего электрического поля в точке равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке отдельными зарядами). Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной плоскостью, можно вычислить по формуле: (9) где x1 и x2 – кратчайшее расстояние от плоскости до точек 1 и 2; Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной нитью, рассчитывается по уравнению: (10) где by и ay – кратчайшее расстояние от нити до точек 1 и 2; by = b sinα; ay = a sinα. Разность потенциалов в точках 1 и 2, создаваемая точечным зарядом, вычисляется по выражению: (11) где r1 и r2 – кратчайшее расстояние от точечного заряда до точек 1 и 2; r1 = c – a = = 0,4 (м); r2 = c – b = 0,2 (м). Результирующая разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2 в соответствии с принципом суперпозиции вычисляется по формуле: (12) Из-за громоздкости формулы (12) проведем вычисления слагаемых по отдельности:
Окончательный результат: Ответ: Задача 2. Два металлических шарика радиусом 10,0 и 50,0 мм заряжены: первый – до потенциала 600 В, а второй имеет заряд 3,00 нКл (рис. 2). Определить, насколько изменятся потенциалы шариков после их соединения.
Потенциал второго шарика до соединения вычисляют по формуле: (1) Так как потенциалы шариков разные, то после их соединения начнется перезарядка, которая будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы шариков не уравняются: (2) Используя условие (2) и применяя закон сохранения электрического заряда, запишем: (3) Решая систему (3), получим: (4) Тогда, учитывая, что , запишем: (5) (6) Проверяем единицу измерения: Производим вычисления: Ответ: потенциал первого шарика уменьшится на 50 В, а второго – возрастет на 10 В. Задача 3. В схеме на рис. 3 ЭДС E1 = 2,00 В; E2 = 1,50 В; E3 = 3,00 В; E 4 = 4,50 В. Внутренние сопротивления всех источников одинаковы и равны 0,5 Ом. Сопротивления резисторов: R1 = 1,00 Ом; R2 = 2,00 Ом; R3 = 3,00 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Какое количество тепла выделяется в резисторе R2 за одну минуту?
Так как электрическая цепь, приведенная на рис. 3, разветвленная, то для решения задачи нельзя использовать закон Ома для замкнутой цепи. Решаем задачу с помощью правил Кирхгофа. Выбираем узел А, произвольно расставляем направление токов в подходящих к узлу проводах и записываем для него первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи, подходящие к узлу, берем со знаком «плюс», отходящие – со знаком «минус»): (1) Выбираем в цепи замкнутый контур – АВСА, указываем произвольно направление обхода контура и расставляем на источниках ЭДСстрелки, указывающие направление переноса заряда сторонними силами внутри источников (от «минуса» - к «плюсу»). Записываем для этого контура второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма снижения напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (если направление тока на сопротивлении совпадает с направлением обхода в контуре, то падение напряжения на этом сопротивлении имеет знак «плюс», если не совпадает – знак «минус»; если направление стрелки у ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то перед ЭДС ставим знак «плюс», если противоположно – знак «минус»): (2) Выбираем другой замкнутый контур – ACDA – и аналогично записываем для него второе правило Кирхгофа: (3) Для нахождения силы тока в участках цепи необходимо решить систему трех линейных уравнений: (4) Решаем систему методом Крамера: (5) Проверка по первому закону Кирхгофа: Количество тепла, выделяемого при прохождении тока по проводнику R2, вычислим по закону Джоуля – Ленца: (6)
Ответ: I1 = 0,165 A; I2 = -0,101 A; I3 = 0,064 A; Q2 = 1,23 Дж. Задача 4. По контуру в виде равностороннего треугольника со стороной 200 мм течет ток силой 15,0 А. Перпендикулярно плоскости контура проходят два бесконечно длинных прямых изолированных проводника, в которых протекают токи силой в 30,0 А в противоположных направлениях. Проводники проходят через две вершины треугольника. Найти величину и направление индукции магнитного поля в точке пересечения высот треугольника.
Магнитное поле создается замкнутым контуром, состоящим из трех проводников конечной длины, и двумя бесконечно длинными проводниками. Определяем с помощью «правила буравчика» направление индукции магнитного поля, создаваемого каждым проводником в центре треугольника (рис. 4) и на основании принципа суперпозиции магнитных полей записываем: (1) где , и - магнитная индукция поля проводников конечной длины замкнутого контура с током I1; и - магнитная индукция полей бесконечно длинных проводников с токами I2 и I3. Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем удобную инерциальную систему отсчета (см. рис. 4, ось OZ – на нас) и находим проекции всех векторов на координатные оси: (2)
Магнитную индукцию поля, создаваемого каждой стороной треугольного контура, вычислим по формуле: (3) где - кратчайшее расстояние от проводника с током I1 до центра треугольника; Тогда (4) Магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинными проводниками, вычислим по формулам: (5) (6) где r2 = r3 – радиус описанной окружности. С учетом формул (5), (6) получим: (7) (8) (так как I2 = I3). Проверяем единицы измерения: Производим вычисления: Значение результирующей магнитной индукции поля в центре рассчитаем по формуле: (9) Ответ: Задача 5. В однородном горизонтальном магнитном поле находится прямолинейный медный проводник с током 20,0 А, расположенный горизонтально и перпендикулярно полю. Какова должна быть магнитная индукция поля, чтобы проводник, имеющий поперечное сечение 2,00 мм2, находился в равновесии?
На проводник с током (рис. 5) действует сила тяжести (со стороны Земли) и сила Ампера (со стороны магнитного поля). Чтобы проводник находился в равновесии, сила должна быть направлена против и должна быть равной ей по величине: (1) В проекции на ось ОУ имеем: (2) где ρ - плотность материала проводника (медь); V = Sl - объем проводника, находящегося в магнитном поле; α = 90º - угол между направлениями магнитной индукции и тока в проводнике. С учетом изложенного выше получим: (3) Проверяем единицу измерения: Производим вычисления: Ответ: В = 8,7 мТл. Задача 6. Рамка площадью 60,0 см2, имеющая 200 витков, равномерно вращается с частотой 5,00 об/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,50 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Сопротивление витков рамки равно 12 Ом. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки в 30º, и максимальный ток, индуцируемый в рамке. В начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна магнитному полю.
При вращении рамки в магнитном поле (рис. 6) меняется потокосцепление с рамкой, вследствие чего в рамке согласно явлению электромагнитной индукции индуцируется ЭДС индукции, мгновенное значение которой определяется по основному закону электромагнитной индукции (по закону Фарадея – Ленца): (1) где N – число витков в рамке. Магнитный поток через рамку (2) При равномерном вращении рамки угол поворота рамки изменяется по закону: (3) где - циклическая (круговая) частота вращения, с-1; - линейная частота вращения, об/с. С учетом уравнений (2) и (3) получим выражение для расчета ЭДС индукции: (4) Проверяем единицу измерения: Вычисляем мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки α1 = 30º: Величину индукционного тока в рамке можно найти, воспользовавшись законом Ома: (5) Максимальное значение Ii max будет соответствовать максимальному значению синуса: , тогда (6) Производим вычисления: Ответ: Ei = 9,42 В; Ii max = 1,57 А. Задача 7. В идеальном колебательном контуре индуктивность катушки равна 100 мГн, а амплитуда колебаний силы тока в цепи – 20 А. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент времени, когда мгновенное значение силы тока в два раза меньше амплитудного значения.
В идеальном колебательном контуре отсутствует диссипация энергии, поэтому полную энергию можно вычислить через максимальные значения энергии электрического или магнитного поля: (2) Энергия магнитного поля для момента времени, когда i = I0/2, (3) Тогда энергия электрического поля конденсатора (4) Производим вычисления: Ответ: We = 15 мкДж; Wm = 5 мкДж. З а д а ч а 8. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника длиной 800 мм уменьшилась в два раза за 3 мин. Чему равна добротность этого осциллятора?
При затухающих колебаниях амплитуда и энергия убывают по законам: (2) (3) где β – коэффициент затухания осциллятора, который можно найти из соотно-шения: (4) Тогда потеря энергии осциллятором за один период (5) Период затухающих колебаний математического маятника (6) а так как << , то это случай слабозатухающих колебаний. Тогда окончательно имеем: (7) Производим вычисления: Ответ: Q = 458. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ И НОМЕРА ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2
ЗАДАЧИ Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.056 сек.) |