АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Наиболее простая теория, описывающая работу линии передачи с волной типа Т была построена очень давно и уравнения

Читайте также:
  1. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  2. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  3. I. Розв’язати задачі
  4. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  5. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  6. II. Основные задачи и функции
  7. II. Решение логических задач табличным способом
  8. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВОИ
  9. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  10. III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  11. III. Цели и задачи социально-экономического развития Республики Карелия на среднесрочную перспективу (2012-2017 годы)
  12. IV. Определите, какую задачу взаимодействия с практическим психологом поставил перед собой клиент.

 

Наиболее простая теория, описывающая работу линии передачи с волной типа Т была построена очень давно и уравнения, описывающие процессы в такой линии, получили название телеграфных уравнений. Это система двух дифференциальных уравнений 1-го порядка. Они вводят понятие токов и напряжений в линии.

В этой теории линия передачи представляется последовательностью периодически повторяющихся L, R и C, G цепочек.

Рис.2.1. Эквивалентная схема отрезка линии длиной

 

здесь R – погонное сопротивление и G – погонная проводимость характеризуют, соответственно, потери в металле и в диэлектрике, L – погонная индуктивность; C погонная емкость.

 

Уравнения длинной линии имеют вид:

где V и I мгновенные значения напряжения и тока.

Если временная зависимость полей вводится как , то

Решение этих уравнений имеет вид:

(2.5.)

где ; .

При отсутствии потерь

; (2.6)

β - коэффициент фазы (м-1), связанный с длинной волны в линии передачи λв, круговой частотой и фазовой скоростью vф соотношением:

Учитывая, что погонная индуктивность L меняется при изменении геометрии линии в меньшей степени чем погонная емкость С, легко, используя (2.6) понять, как изменяется zв при изменении геометрии линии.

Введем далее обозначения:

где – комплексная амплитуда волны напряжения, распространяющейся в сторону увеличения координаты x (падающая волна).

- комплексная амплитуда волны напряжения, распространяющейся в линии навстречу падающей, эта волна носит название отраженной.

Тогда полные напряжения и ток в сечении линии x могут быть записаны как

(2.7)

Падающая и отраженная волны движутся навстречу друг другу с изменяющейся фазой, в результате чего в распределении напряжения и тока вдоль тракта возникают максимумы и минимумы.

Рис.2.2 Распределение напряжения и тока вдоль линии

 

Отношение называется коэффициентом отражения по напряжению и обозначается как .

(2.8)

Так как напряжения падающей и отраженной волн пропорциональны поперечным компонентам соответствующих электрических полей и имеют одинаковые с ними фазы, то коэффициент отражения по напряжению совпадает с коэффициентом отражения по электрическому полю.

Учитывая (2.8) выражения для напряжения и тока можно записать в виде

(2.9)

Принимая, что

где и значения комплексных амплитуд падающей и отраженной волн в некотором сечении можно записать, что

При отсутствии потерь (α=0)

 

Из (2.9) следует, что напряжение в максимуме равно:

(2.10)

Отношение называется коэффициентом бегущей волны КБВ, обратное отношение - коэффициентом стоячей волны КСВ. Учитывая (2.10) можно записать

Отсюда следует, что КБВ в линии меняется от 1 до 0 при изменении коэффициента отражения от 0 до 1, а КСВ соответственно от 1 до бесконечности.

Отношение напряжения к току в некотором сечении ξ линии называется эквивалентным полным сопротивлением линии в этом сечении

(2.11)

Эквивалентное полное сопротивление в заданном сечении имеет тот физический смысл, что оно является входным сопротивлением отрезка линии длиной, равной расстоянию от сечения до сечения входа нагрузки, с подключенной на конце нагрузкой.

На практике вместо продольной координаты ξ удобно ввести координату с нулевым значением в некотором произвольном сечении линии и положительным отсчетом в направлении от нагрузки к генератору (рис.2.3)

Рис.2.3 Замена продольной координаты

В этом случае соотношения (2.9) для тока и напряжения выглядят следующим образом

(2.12)

коэффициент отражения имеет соответственно вид

При отсутствии в линии потерь (α=0)

Отсюда коэффициент отражения в сечении может быть определен через известное значение в сечении с помощью соотношения

(2.13)

где положительно, если сдвиг от сечения осуществляется в сторону генератора, и отрицательно, если сдвиг в сторону к нагрузке.

Из (2.13) следует, что в линии без потерь модуль коэффициента отражения не зависит от координаты , а фаза меняется от 0 до 2π на интервале, равном половине длины волны в линии.

Теперь можно связать значение сопротивления нагрузки в сечениях и

Используя для экспоненты представление

получаем

Поделим числитель и знаменатель на величину .

С учетом того, что

получаем соотношение, связывающее сопротивления в сечениях линии и

(2.14)

Для проводимости аналогично можно получить представленное ниже выражение

(2.15)

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

З а д а ч а 1. Бесконечная заряженная плоскость с поверхностной плотнос-тью заряда 6,00 нКл/м2 расположена перпендикулярно бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда -5,00 нКл/м. На биссектрисе угла между плоскостью и нитью на расстоянии 500 мм от вершины угла находится точечный заряд -10,0 нКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от его вершины на расстоянии 100 мм; разность потенциалов электрического поля между двумя точками, расположенными на биссектрисе угла на расстоянии 100 и 300 мм от вершины.

 

Дано: СИ
-q
+ σ
α
 
 
Y
X
Рис. 1
α
a
b
c
Решение.

 


 

σ = 6,00 нКл/м2 Кл/м2
τ = 5,00 нКл/м Кл/м
q = 10,0 нКл Кл
a = 100 мм 0,1 м
b = 300 мм 0,3 м
c = 500 мм 0,5 м
α = 45º  
-? (φ1 – φ2) -?  

 

 

 
Электрическое поле создается тремя заряженными телами: бесконечной плоскостью, бесконечно длинной нитью и точечным зарядом. В точке 1 (рис. 1), лежащей на биссектрисе угла на расстоянии а, равном 10 см, от вершины, определяем направление векторов напряженности , , электрического поля, созданного плоскостью (), заряженной нитью () и точечным зарядом (). Результирующую напряженность в этой точке найдем по принципу суперпозиции электрических полей:

(1)

Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем инерциальную систему отсчета и находим проекции всех векторов на координатные оси:

(2)

Значение напряженности полей, создаваемых каждым электрическим зарядом, вычислим по формулам:

для бесконечной заряженной плоскости -

, (3)

где - электрическая постоянная (см. прил.);

для бесконечно длинной заряженной нити –

, (4)

где - кратчайшее расстояние от нити до точки 1;

для точечного электрического заряда –

. (5)

С учетом формул (3) - (5) получим:

(6)

Проверяем единицы измерения:

Производим вычисления:

Величину напряженности в точке 1 найдем по формуле:

(7)

Для вычисления разности потенциалов между точками 1 и 2 электри-ческого поля воспользуемся связью между разностью потенциалов поля и напряженностью этого поля

(8)

и принципом суперпозиции электрических полей (потенциал результирующего электрического поля в точке равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке отдельными зарядами).

Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной плоскостью, можно вычислить по формуле:

(9)

где x1 и x2 – кратчайшее расстояние от плоскости до точек 1 и 2;

Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной нитью, рассчитывается по уравнению:

(10)

где by и ay – кратчайшее расстояние от нити до точек 1 и 2; by = b sinα; ay = a sinα.

Разность потенциалов в точках 1 и 2, создаваемая точечным зарядом, вычисляется по выражению:

(11)

где r1 и r2 – кратчайшее расстояние от точечного заряда до точек 1 и 2; r1 = c – a = = 0,4 (м); r2 = c – b = 0,2 (м).

Результирующая разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2 в соответствии с принципом суперпозиции вычисляется по формуле:

(12)

Из-за громоздкости формулы (12) проведем вычисления слагаемых по отдельности:

Окончательный результат:

Ответ:

Задача 2. Два металлических шарика радиусом 10,0 и 50,0 мм заряжены: первый – до потенциала 600 В, а второй имеет заряд 3,00 нКл (рис. 2). Определить, насколько изменятся потенциалы шариков после их соединения.

 

Дано: СИ
 
q2
 
φ1  
а б Рис. 2
R1
R2
Решение.

 

 

R1 = 10 мм м
R2 = 50 мм м
φ1 = 600 В  
q2 = 3,00 нКл Кл
∆φ1 –? ∆φ2 –?  

 

 

Потенциал второго шарика до соединения вычисляют по формуле:

(1)

Так как потенциалы шариков разные, то после их соединения начнется перезарядка, которая будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы шариков не уравняются:

(2)

Используя условие (2) и применяя закон сохранения электрического заряда, запишем:

(3)

Решая систему (3), получим:

(4)

Тогда, учитывая, что , запишем:

(5)

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: потенциал первого шарика уменьшится на 50 В, а второго – возрастет на 10 В.

Задача 3. В схеме на рис. 3 ЭДС E1 = 2,00 В; E2 = 1,50 В; E3 = 3,00 В; E 4 = 4,50 В. Внутренние сопротивления всех источников одинаковы и равны 0,5 Ом. Сопротивления резисторов: R1 = 1,00 Ом; R2 = 2,00 Ом; R3 = 3,00 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Какое количество тепла выделяется в резисторе R2 за одну минуту?

 

Дано: Решение.
I1
I2
I3
E1
E2
E3
E4
R1
R2
R3
А
В
С
Д
Рис. 3
+
+
+
+
-
-
-
-

 

E 1 = 2,00 В
E 2 = 1,50 В
E 3 = 3,00 В
E 4 = 4,50 В
r1 = r2 = r3 = r4 = 0,5 Ом
R1 = 1,00 Ом
R2 = 2,00 Ом
R3 = 3,00 Ом
t = 60 с
I1 -? I2 -? I3 -? Q2 -?

Так как электрическая цепь, приведенная на рис. 3, разветвленная, то для решения задачи нельзя использовать закон Ома для замкнутой цепи. Решаем задачу с помощью правил Кирхгофа.

Выбираем узел А, произвольно расставляем направление токов в подходящих к узлу проводах и записываем для него первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи, подходящие к узлу, берем со знаком «плюс», отходящие – со знаком «минус»):

(1)

Выбираем в цепи замкнутый контур – АВСА, указываем произвольно направление обхода контура и расставляем на источниках ЭДСстрелки, указывающие направление переноса заряда сторонними силами внутри источников (от «минуса» - к «плюсу»). Записываем для этого контура второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма снижения напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (если направление тока на сопротивлении совпадает с направлением обхода в контуре, то падение напряжения на этом сопротивлении имеет знак «плюс», если не совпадает – знак «минус»; если направление стрелки у ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то перед ЭДС ставим знак «плюс», если противоположно – знак «минус»):

(2)

Выбираем другой замкнутый контур – ACDA – и аналогично записываем для него второе правило Кирхгофа:

(3)

Для нахождения силы тока в участках цепи необходимо решить систему трех линейных уравнений:

(4)

Решаем систему методом Крамера:

(5)

Проверка по первому закону Кирхгофа:

Количество тепла, выделяемого при прохождении тока по проводнику R2, вычислим по закону Джоуля – Ленца:

(6)

Ответ: I1 = 0,165 A; I2 = -0,101 A; I3 = 0,064 A; Q2 = 1,23 Дж.

Задача 4. По контуру в виде равностороннего треугольника со стороной 200 мм течет ток силой 15,0 А. Перпендикулярно плоскости контура проходят два бесконечно длинных прямых изолированных проводника, в которых протекают токи силой в 30,0 А в противоположных направлениях. Проводники проходят через две вершины треугольника. Найти величину и направление индукции магнитного поля в точке пересечения высот треугольника.

Дано: СИ

Решение.

X
Y
 
 
 
 
I1
I2
I3
I1
I1
Рис. 4
.
r1
r1
r1

 

a = 200 мм 0,2 м
I1 = 15,0 A  
I2 = I3 = 30,0 A  
 

r3
r2

 


Магнитное поле создается замкнутым контуром, состоящим из трех проводников конечной длины, и двумя бесконечно длинными проводниками. Определяем с помощью «правила буравчика» направление индукции магнитного поля, создаваемого каждым проводником в центре треугольника (рис. 4) и на основании принципа суперпозиции магнитных полей записываем:

(1)

где , и - магнитная индукция поля проводников конечной длины замкнутого контура с током I1;

и - магнитная индукция полей бесконечно длинных проводников с токами I2 и I3.

Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем удобную инерциальную систему отсчета (см. рис. 4, ось OZ – на нас) и находим проекции всех векторов на координатные оси:

(2)

 

Магнитную индукцию поля, создаваемого каждой стороной треугольного контура, вычислим по формуле:

(3)

где - кратчайшее расстояние от проводника с током I1 до центра треугольника;

Тогда

(4)

Магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинными проводниками, вычислим по формулам:

(5)

(6)

где r2 = r3 – радиус описанной окружности.

С учетом формул (5), (6) получим:

(7)

(8)

(так как I2 = I3).

Проверяем единицы измерения:

Производим вычисления:

Значение результирующей магнитной индукции поля в центре рассчитаем по формуле:

(9)

Ответ:

Задача 5. В однородном горизонтальном магнитном поле находится прямолинейный медный проводник с током 20,0 А, расположенный горизонтально и перпендикулярно полю. Какова должна быть магнитная индукция поля, чтобы проводник, имеющий поперечное сечение 2,00 мм2, находился в равновесии?

Дано: СИ
 
I
Y
Рис. 5
.
Решение.

 

 

I = 20,0 A  
S = 2,00 мм2
ρ = 8900 кг/м3  
В –?  

 

 

На проводник с током (рис. 5) действует сила тяжести (со стороны Земли) и сила Ампера (со стороны магнитного поля). Чтобы проводник находился в равновесии, сила должна быть направлена против и должна быть равной ей по величине:

(1)

В проекции на ось ОУ имеем:

(2)

где

ρ - плотность материала проводника (медь);

V = Sl - объем проводника, находящегося в магнитном поле;

α = 90º - угол между направлениями магнитной индукции и тока в проводнике.

С учетом изложенного выше получим:

(3)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: В = 8,7 мТл.

Задача 6. Рамка площадью 60,0 см2, имеющая 200 витков, равномерно вращается с частотой 5,00 об/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,50 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Сопротивление витков рамки равно 12 Ом. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки в 30º, и максимальный ток, индуцируемый в рамке. В начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна магнитному полю.

 

Дано: СИ Решение.
Рис. 6
α
S

 

N = 200  
S = 60,0 см2
ν = 5,00 об/с  
B = 0,5 Тл  
R = 12,0 Ом  
α1 = 30º  
Ei -? Ii max -?  

При вращении рамки в магнитном поле (рис. 6) меняется потокосцепление с рамкой, вследствие чего в рамке согласно явлению электромагнитной индукции индуцируется ЭДС индукции, мгновенное значение которой определяется по основному закону электромагнитной индукции (по закону Фарадея – Ленца):

(1)

где N – число витков в рамке.

Магнитный поток через рамку

(2)

При равномерном вращении рамки угол поворота рамки изменяется по закону:

(3)

где - циклическая (круговая) частота вращения, с-1;

- линейная частота вращения, об/с.

С учетом уравнений (2) и (3) получим выражение для расчета ЭДС индукции:

(4)

Проверяем единицу измерения:

Вычисляем мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки α1 = 30º:

Величину индукционного тока в рамке можно найти, воспользовавшись

законом Ома:

(5)

Максимальное значение Ii max будет соответствовать максимальному значению синуса: , тогда

(6)


Производим вычисления:

Ответ: Ei = 9,42 В; Ii max = 1,57 А.

Задача 7. В идеальном колебательном контуре индуктивность катушки равна 100 мГн, а амплитуда колебаний силы тока в цепи – 20 А. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент времени, когда мгновенное значение силы тока в два раза меньше амплитудного значения.

Дано: СИ Решение. Полная энергия идеального колебательного контура складывается из энергии электрического и магнитного полей: (1)
L = 100 мГн 0,1 Гн
I0 = 20 мА 0,2 A
i = I0/2  
We –? Wm –?  

В идеальном колебательном контуре отсутствует диссипация энергии, поэтому полную энергию можно вычислить через максимальные значения энергии электрического или магнитного поля:

(2)

Энергия магнитного поля для момента времени, когда i = I0/2,

(3)

Тогда энергия электрического поля конденсатора

(4)

Производим вычисления:

Ответ: We = 15 мкДж; Wm = 5 мкДж.

З а д а ч а 8. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника длиной 800 мм уменьшилась в два раза за 3 мин. Чему равна добротность этого осциллятора?

Дано: СИ Решение. Добротностью осциллятора называется увеличенное в 2π раз отношение энергии, первоначально запасенной осциллятором, к потерям энергии за один период: . (1)
l = 800 мм 0,8 м
t1 = 3 мин 180 с
A0/A = 2  
t2 = T  
Q –?  

При затухающих колебаниях амплитуда и энергия убывают по законам:

(2)

(3)

где β – коэффициент затухания осциллятора, который можно найти из соотно-шения:

(4)

Тогда потеря энергии осциллятором за один период

(5)

Период затухающих колебаний математического маятника

(6)

а так как << , то это случай слабозатухающих колебаний.

Тогда окончательно имеем:

(7)

Производим вычисления:

Ответ: Q = 458.


ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ И НОМЕРА ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

 

Вариант   Номера задач Вариант   Номера задач
                               
                                   
                                   
                                   
                                   
                                   

 

ЗАДАЧИ


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.06 сек.)