Взаимодействие электронов с волной

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

В ЗАМЕДЛЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЕ

Взаимодействие электронов с волной

ЛБВ и ЛОВ относятся к СВЧ приборам с длительным взаимодействием электронного потока с бегущей электромагнитной волной. Для обеспечения эффективности такого взаимодействия необходима близость скорости электронов к фазовой скорости волны, что осуществляется за счет замедления волны в специальной линии передачи, называемой замедляющей системой (ЗС).

Рис 1

Процесс взаимодействия электронного потока с полем бегущей волны может быть качественно описан следующим образом. Пусть в какой-то момент времени t ₀ равномерный поток электронов оказался в поле бегущей волны с продольной электрической составляющей Е_z, причем скорость движения потока V ₀ и скорость распространения волны одинаковы (Рис. 1а).

Электроны (условно обозначенные кружками), оказавшиеся в поле положительной полуволны, будут ускоряться, а электроны, находящиеся в поле отрицательной полуволны, под действием составляющей поля будут тормозиться. Направление действия сил ВЧ поля на рисунках показано стрелками. В результате взаимодействия с полем спустя некоторое время в момент t ₁ электроны окажутся сгруппированными в сгустки.

При скорости движения электронов в потоке равной скорости волны, распространяющейся вдоль оси z, группировка будет происходить вблизи точек оси z, где значение Е_z меняет знак с положительного на отрицательный (Рис 16). В этом случае сгустки будут двигаться синхронно с волной и в среднем обмена энергией между электронным потоком и электромагнитной волной не будет.

Если скорость электронного потока V ₀ будет несколько больше V_Ф волны, то сгустки электронов будут образовываться в точках, где составляющая Е_z отрицательна (поле тормозящее) (Рис 1в).

Под действием тормозящего поля при дальнейшем движении вдоль z электроны будут отдавать энергию волне и томозиться. В результате амплитуда волны будет нарастать и, таким образом, возможно усиление электромагнитных колебаний.

При построении теории приборов, в которых происходит взаимодействие бегущей электромагнитной волны с электронным потоком, обычно считают, что в отсутствии ВЧ поля электроны движутся прямолинейно вдоль оси z с некоторой скоростью V ₀ - такое рассмотрение предполагает, что электронный поток погружен в бесконечно большое фокусирующее магнитное поле, которое препятствует поперечному движению электронов, вызванному кулоновскими силами растатасивания в пучке.

Пусть волна (распростраяяюшаяся в том же направлении, что и электронный поток и имеющая фазовую скорость V_ф) на входе в систему (Z = 0) имеет амплитуду Е ₀. В процессе взаимодействия с электронным потоком амплитуда поля будет меняться и в каждой точке одномерного пространства взаимодействия будет характеризоваться величиной Е (z).

Уравнение движения электрона

где

Здесь β = ω/ V_ф - фазовая постоянная волны, характеризующая изменение фазы на единицу длины.

Стоящая в правой части уравнения (1) величина Е (z) неизвестна, ее отыскание можно провести методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения используется амплитуда поля невозмушенной волны (то есть волны в отсутствие электронов): Е (z) = Е ₀ e^{j(ω t -β z)}

Тогда уравнение движения для решения задачи в первом приближении принимает вид:

Проинтегрировав дважды это уравнение находим закон группировки электронов. Далее находится конвекционный ток, проводится его гармонический анализ, выделяется составляющая тока с основной частотой (первая гармоника тока). Затем находится поле, возбуждаемое первой гармоникой тока. Оно является поправкой к невозмущенному полю и, складываясь векторно с полем нулевого приближения, дает Е_z в первом приближении. Далее полученное Е_z опять подставляем в уравнение (1) и цикл повторяется. В результате получаем второе приближение и т.д.

Решение задачи в первом приближении.

Провести непосредственно интегрирование уравнения (1) затруднительно. Поэтому эту операцию можно провести последовательными приближениями, взяв в качестве нулевого приближения для координаты z невозмущенное движение электрона:

z = V ₀(t - t ₀) (2)

где V ₀ - начальная скорость электронов; t ₀ - момент времени, соответствующий влету электрона в систему (z = 0)

Подставляем (2) в (1’):

или

Далее решение задачи будем проводить для случая идеального синхронизма движения волны и пучка электронов (V ₀ = V_ф). Тогда:

Интегрируя от t ₀ до t получаем (учитывая, что при t =t ₀, V = V ₀)

Используя формулу Эйлера, выделим действительную часть в последнем выражении:

V = V ₀ + ηE ₀(t - t ₀)cos ω t ₀

Поставка теперь вместо t – t ₀ нулевое приближение t – t ₀ = z/V ₀ и учитывая, что скорость электронов V ₀ связана с ускоряющим напряжением соотношением: получаем

(4)

Это выражение характеризует процесс модуляции электронов по скорости (в зависимости от времени влета в систему t ₀).

В общем случае, если V ₀ ≠ V_ф выражение для V имеет вид:

(4')

где: (5)

Параметр называется параметром эффективности модуляции в бегущей волне.

При уменьшении Ф_о, т.е. при приближении V ₀ к V _ф М → 1. При этом, согласно (5), электрон оказывается в поле данной фазы в течение всего времени пролета, что обеспечивает наилучшую модуляцию скорости электронов полем волны. При увеличении Фо электрон за время пролета испытывает действие поля волны меняющейся фазы. Средний эффект воздействия волны уменьшается.

Вторичное интегрирование (3) дает возможность получить первое приближение для координаты электрона. При V _o = V_ф

(6)

или, проведя такие же выкладки как выше для V, получим

Умножаем обе части на β₀ = ω/ V ₀ и тогда:

(7)

где X = E ₀β₀ z /4 U ₀ - параметр группировки.

Используем (7) для нахождения комплексной амплитуды сгруппированного тока. Дополнительно для этого используем закон сохранения заряда I ₀dt₀ = i (t) dt

получаем

При малых уровнях входного воздействия Е₀, т.е. при малых значениях параметра группировки (X ‹‹ 1)

а так как в нулевом приближении ω t - β₀ z = ω t - β₀ V ₀(t - t ₀) = ω t ₀, то i (t) можно представить в виде

Перейдем теперь к рассмотрению возбуждаемого сгруппированным током поля. Поле в линии передачи, возбуждаемой током, в плоскости z определяется по формуле:

где R_св - сопротивление связи, характеризующее связь линии передачи с пучком и складывается из следующих компонент:

§ -одна представляет собой поле "холодной" волны (без пучка);

§ -вторая - часть поля, возбужденного в области 0 - z током i, распространяющимся вправо;

§ -третья - распространяющуюся влево часть поля, возбужденного во всех сечениях ξ между z и L.

(ξ - текущая координата)

Фактор e^{±jβ(z -ξ)} учитывает конечную скорость распространения фазы волны: в данный момент в плоскость Z приходят парциальные волны, возбужденные током i (ξ) тем раньше, чем дальше от плоскости Z находится плоскость ξ источника возбуждения.

Последний член в (9) оказывается значительно меньше предыдущих и его можно не учитывать. Тогда

знак "-" относится к ЛБВ, а "+" - к ЛОВ.

(11)

Теперь подставим найденное значение тока (8) в (11). Если ввести параметр усиления С, который определяется выражением С ³ = I ₀ R_св /4 U ₀, то получим

E ₁ = E ₀(2π CN)³/3!,

где N - число длин волн, укладывающихся вдоль системы от 0 до z, т.е. 2π N = β z, а N = z /λ

Итак, в первом приближении поле в любом сечении системы определяется выражением:

(12)

В обшем случае, в отсутствии синхронизма (V ₀ ≠ V_ф) последнее выражение усложняется:

(13)

где:

В (13) член с F_а, определяет "активный " характер взаимодействия между волной и пучком (F_а > 0 соответствует увеличению средней кинетической энергии электронов - электроны отбирают энергию у волны, а F_а < 0 - поток отдает энергию волне).

Член с F_b определяет "реактивный" характер взаимодействия.

Отметим, что при V ₀ = V_ф (синхронизм) согласно (12) взаимодействие носит чисто реактивный характер. Это следует и из рассуждении, приведенных в начале описания.

Преобразуя (12) нетрудно определить амплитуду и фазу волны в любом сечении z.

(14)

Величина характеризует фазу «горячей волны», это позволяет найти следующим образом фазовую скорость

Видно, что фазовая скорость "горячей " волны уменьшается по сравнению с со скоростью электронов V ₀ = V_ф. В результате такого "замедления"волны, электронные сгустки попадают в тормозящую фазу и, как следствие, при взаимодействии происходит нарастание амплитуды волны.

Поиск по сайту: