Особенности описания состояний физической системы в статистических теориях

Согласно общепринятой терминологии под динамиче­скими закономерностями (или теориями) понимаются закономерности, в которых физические величины непо­средственно связаны однозначными, функциональными зависимостями. В статистических закономерностях (или теориях) однозначно связаны вероятности определен­ных значений тех или иных физических величин, а связи между самими величинами неоднозначны. Общность этих теорий проявляется, прежде всего, в том, что и те, и дру­гие вводят в качестве основного понятия состояние физи­ческой системы. Различие же между ними — в определении этого состояния. Например, в классической механи­ке, являющейся динамической теорией, состояние зада­ется координатами и импульсами материальных точек. В другой динамической теории — классической термодинамике — состоя­ние системы определяется давлением, объемом и темпе­ратурой некоторой массы вещества. В классической элек­тродинамике, также являющейся динамической теорией, состояние системы — это определенные значения напряженностей электрического и магнитного полей.

Эволюция этих состояний описывается соответствую­щими уравнениями — уравнением движения (в форме II закона Ньютона) в механике, уравнениями переноса в термодинамике неравновесных процессов, уравнениями Максвелла в электродинамике.

В статистической механике состояние системы определяет­ся совершенно иначе: не поло­жениями и импульсами частиц, а вероятностями того, что та или иная частица имеет координаты и импульсы в определенном диа­пазоне возможных значений. Чтобы лучше представить себе специфику такого подхода, рас­смотрим конкретный пример. Пусть в результате многократ­ного измерения координаты хнекоторой частицы получено Nзначений, в общем случае отли­чающихся друг от друга:

х₁, х₂, …, х_N (1.1)

Чтобы наглядно представить эти значения, строят ступенчатый график, который называется гистограммой.

Для этого интервал [х_min, x_max]на оси абсцисс, в кото­рый попадают все значения серии (1.1), разбивают на k одинаковых по ширине интервалов Δх_i(i= 1, 2,..., k) и на каждом из них строят прямоугольник, высота которо­го равна относительному числу значений из (1.1), попав­ших в соответствующий интервал, деленному на ширину интервала N_i / (NΔx).Тогда при достаточно больших k и Nплощадь каждого прямоугольника будет равна вероят­ности P_i= N_i /Nпопадания результатов измерения (1.1) в соответствующий интервал Δх_i

Если теперь устремить Nк бесконечности и одновре­менно ширину интервалов Δх_iк нулю, то ступенчатый гра­фик — гистограмма — перейдет в плавную кривую ρ(х),которая называется плотностью вероят­ности (или функцией распределения) случайной величи­ны х. Смысл этой функции остается прежним: ее значе­ние в той или иной точке х определяет вероятность dPтого, что измеренное значение случайной величины хпопадет в малый интервал [х; х + Δх]:

dP = ρ(x)dx.(1.2)

Таким образом, если в классической механике состоя­ние N материальных точек (являющихся, например, тео­ретической моделью идеального газа) задается значения­ми Nрадиус-векторов r, и Nимпульсов p, то в статистиче­ской механике состояние тех же Nматериальных точек определяется функцией распределения ρ(г ₁, р ₁; г ₂, р ₂;... г _N, р _N) с помощью которой можно вычислить вероят­ность того, что координаты и импульсы этих Nточек на­ходятся между r ₁ и r ₁ + dr ₁, p ₁ и p ₁ + dp ₁ , ….,r _N и r _N + dr _N, p _N и p _N + dp _N.

Эволюция состояния в фундаментальных статистиче­ских теориях определяется уравнениями движения, так же как и в динамических теориях. По заданному стати­стическому распределению в начальный момент времени однозначно определяется распределение в любой после­дующий момент времени. Никакого отличия в этом отно­шении от динамических теорий нет.

Главной особенностью ста­тистических уравнений движения (уравнение Лиувилля, уравнение Больцмана и др.) является то, что их решения соответствуют необра­тимой трансформации функции распределения ρ к неко­торому равновесному значению. Это означает, что какой бы ни была начальная функция распределения частиц (на­пример, она может соответствовать ситуации, когда все частицы сосредоточены в каком-то определенном месте объема), в конце концов, эта функция распределения, по­степенно изменяясь, станет равновесной (в частности, бу­дет соответствовать равномерному распределению частиц по объему).

Таким образом, статистическая механика позволяет адекватно описать необратимое поведение системы, со­стоящей из большого числа частиц.

Поиск по сайту: