Область бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями

Пусть , то есть - бинарное отношение между элементами множеств А и В. Тогда элементами множества являются упорядоченные пары (a,b), где

Определение 1. Множество всех первых элементов пар из называется областью определения бинарного отношения и обозначается Dom .

Определение 2. Множество всех вторых элементов пар из называется областью значений бинарного отношения и обозначается Im .

Определение 3. Множество Dom Im называется областью бинарного отношения .

Из определений следует, что ,

Так как бинарное отношение между элементами множеств А и В является подмножествами множества , то над бинарным отношением можно определить операции объединения, пересечения, разность, как и над множествами. Роль универсального множества здесь будет играть множество , которое называется универсальным бинарным отношением.

Если , то \

Определим еще обратное или инверсное бинарное отношение для , обозначаемое .

Кроме свойств, приведенных в теореме 1 § 2, справедливы также следующие:

Пусть то есть -бинарное отношение между А и В, -бинарное отношение между В и С.

Определение 4. Композицией или произведением бинарных отношений и называется бинарное отношение между множествами А и С, обозначаемое ∙ или просто , состоящее из всех пар (a,c), таких что , то есть

Для бинарного отношения на множестве А справедливы следующие свойства

1. ассоциативность.

2.

3.

Обозначим через Это бинарное отношение называется также диагональю или отношением равенства. Тогда:

4.

5.На множестве А существует такое отношение, что

Поиск по сайту: