|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задание 6. Даны координаты вершин пирамиды : , , ,Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Требуется: 1) записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти направляющие косинусы векторов , и ; 3) найти угол ; 4) найти проекцию вектора на вектор ; 5) найти площадь грани ; 6) найти объем пирамиды ; 7) найти длину высоты, опущенной из вершины ; 8) найти координаты вершины Е параллелограмма .
Решение: 1) Произвольный вектор в системе орт , , определяется следующей формулой: (1) где , , – проекции вектора на координатные оси OX, OY, OZ, называемые координатами вектора, а , , – орты (единичные векторы), направление которых совпадает с положительным направлением осей OX, OY, OZ соответственно. Если даны точки , , то координаты вектора находятся по формулам: , , , (2) т.е. из координат конца вектора вычитаются одноименные координаты начала. Тогда: . (3) Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор : . Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим: . Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор : Если вектор задан формулой (1), то его модуль (длина) вычисляется по формуле: . (4) Применяя (4), получим модули векторов: , , . 2) Косинусы углов, образованных вектором с положительным направлением осей координат (так называемые направляющие косинусы), определяются по формулам: , , . (5) Зная координаты вектора и его модуль, вычислим для вектора направляющие косинусы: , , . Аналогично, запишем направляющие косинусы вектора : , , . И, наконец, для вектора : , , .
3) Угол – это угол между векторами и . Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин: . (6) Найдем скалярное произведение векторов и по формуле: , (7) . Модули этих векторов уже найдены: , . Следовательно, , тогда, . 4) Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора : . 5) Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор . Тогда, как известно, длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора . Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле: . (8) Тогда . Отсюда, длина вектора , найденная по формуле (4), и площадь грани АВС равны: , . 6) Объем треугольной пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения, деленной на шесть. Вычислим смешанное произведение трех векторов , и по формуле: . (9) . . 7) Объем треугольной пирамиды можно также найти по формуле: , где – площадь основания, т.е. площадь грани АВС, а h – высота, опущенная из вершины D на грань АВС. Зная площадь грани АВС и объем пирамиды ABCD , вычислим длину высоты h: , . 8) Поскольку АВСЕ – параллелограмм, то по правилу параллелограмма сложения векторов имеем: . Найдем координаты векторов и по формуле (2). Тогда получим: и . Суммой этих векторов является вектор , координаты которого вычисляются путем сложения одноименных координат векторов и , т.е. , , . Таким образом, координаты вектора : –1+10=9, 2+4=6, –2+8=6, т.е. . Зная координаты вектора и точки B, из формулы (2) можно найти координаты точки Е по формулам: , , , (10) , , . Итак, точка Е имеет координаты: .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.) |