Раздел 3 Системы линейных уравнений

1 Система какого вида называется системой m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется коэффициентами при неизвестных? Что называется свободными членами? Что называется решением системы? Решение какого вида называется тривиальным? Решение какого вида называется нетривиальным? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от числа решений? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от свойств свободных членов?

2 Что называется матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Сформулируйте и обоснуйте метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

3 Что называется определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными? Определители какого вида называются вспомогательными определителями для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите критерий существования ненулевых решений у системы n линейных уравнений с n неизвестными. Когда система n линейных уравнений с n неизвестными имеет только тривиальное решение? Сформулируйте и докажите.

4 Сформулируйте и докажите теорему Кронекера - Копелли о совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными.

5 Сформулируйте и обоснуйте правило применения обратных матриц для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Раздел 4 Евклидовы пространства

1 Какое пространство называется евклидовым? Что называется скалярным произведением? Запишите и докажите неравенство Коши – Буняковского.

2 Что называется длиной вектора в евклидовом пространстве? Какими она обладает свойствами? Что называется углом между векторами в евклидовом пространстве? Какие векторы называются ортогональными? Какая система векторов называется ортонормированной? Докажите, что система ортонормированных векторов является линейно независимой.

3 Докажите, что в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормированный базис.

4 Преобразование какого вида называется ортогональным? Какими свойствами обладает матрица ортогонального преобразования?

5 Преобразование какого вида называется симметрическим преобразованием? Какими свойствами обладает матрица симметрического преобразования?

Поиск по сайту: