|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функцийI.I. Объекты регулирования Объекты регулирования являются теми основными динамическими элементами систем, в которых с помощью управляющих устройств должны поддерживаться заданные режима работы. К ним относятся различные машины и установки, управляемые регулирующими органами. Обычно регулирующие органы представляют собой часть объекта: в паровых машинах - вентили, в самолетах - рули, в турбинах -направляющие водяного потока, в электрических двигателях - обмотки якоря или статора. В теории автоматического управления [4] применяют несколько способов составления уравнений динамики объектов управления. Первый способ - когда дифференциальные уравнения составляются аналитически на основе анализа физических процессов, которые могут происходить в объекте управления; второй - с помощью экспериментально определенных статических и динамических характеристик объекта, представленных в виде графиков; третий - по данным таблиц, полученных экспериментальным путем, о последующей обработкой методами регрессионного анализа; четвертый способ основан на использовании аналогового или цифрового моделирования. Порядок уравнений динамики объектов зависит от сложности процессов, протекающих в них, и от принятых допущений. 1.2. Математические модели объектов управления [2] Математические модели объектов управления представляют собой уравнения динамики, записанные в виде дифференциальных уравнений различного порядка в линеаризованной виде. Дифференциальные уравнения, как правило, составляется отностельно входных и выходных сигналов объекта управления и могут быть представлены в различных формах [2], т.е. в виде общего дифференциального уравнения a0 +a1 +… +an-1 + any(f) = = b0 +b1 +… +bm-1 + bmg(t) (1) разрешены относительно старшей производной либо путем ввода новых переменных - переменных состояния системы, представлены как система дифференциальных уравнений первого порядка (2) или в векторно-матричном виде (3) Однако часто параметры математических моделей неизвестны, и для их определения требуется проводить экспериментальные исследования на реально-существующих объектах управления используя методы активного и пассивного эксперимента и регрессионного анализа, и последнее время для определения неизвестных параметров объекта используются методы идентификации. Рассмотрим применение метода регрессионного анализа для линейного дифференциального уравнения первого порядка для начальных условий X(t0) и Y(t0) решение запишется в виде (4) Положим, что t = t0 +Dt, тогда из выражения (4) можно получить разностное уравнение (5) где xn, yn соответствуют моменту времени t0+nDt, a yn+1 - моменту времени Коэффициента А и В определяется о помощью зависимостей (6)
В соответствии с (5) значение выходного сигнала найдем по величинам входного и выходного сигнала в предыдущий момент времени: Коэффициенты А и В подбираются таким образом, чтобы предсказываемая величина как можно меньше отличалась от измеренного значения yn+1, для чего введём функцию ошибки d в виде (7) где N - число измерений, произведенных через равные промежутки времени Dt. Минимизируя по А и В из условий получим систему уравнений (8) или в матричной форме A · = (9) B
из которых определяем (10) Используя выражения (5), (6), (10) определим параметры K0 и T0, (11) Пусть результаты измерений имеют вид (Dt = 60сек)
Используя (10), определим коэффициенты А и В A= =0,699 B= =0,274 Параметры передаточной функции будут K0= T= Во многих практических задачах приходится определять передаточную функции динамического элемента по импульсной переходной функции, которая может быть получена аналитически или экспериментально [ 4 ]. Известно, что
или Представим импульсную переходную функцию в виде суммы элементарных трапецеидальных функций где при t<ti - di w0i = при ti - dI < t < ti+di 0 при t > ti+di Для каждой трапецеидальной функции определяем (12) (13) Целесообразно выбрать шаг аппроксимации 2di равным для всех трапеций. При этом можно воспользоваться табличными функциями и . Таким образом определяется что дает Пусть w(t), получаемая экспериментально, имеет вид (рис. 2.). Разобьем ее на 6 трапеций.
Вычисляя Vi(w), Ui(w) по формулам (12), (13) построим графики элементарных частотных характеристик (рис.3). Суммируя вещественные и мнимые частотные характеристики по воем трапециям, получим вещественную U(w) и мнимую V(w) характеристики объекта управления. Перестроив эти характеристики в логарифмические частотные характеристики и производя аппроксимацию отдельных участков асимптотами с наклонами кратными 20дб/дек получим значение параметров передаточной функции объекта управления (рис.4) 1.3. Расчет параметров и составление уравнений двигателя постоянного тока Наибольшее использование в САУ, работающих на постоянном токе, имеет двигатели с независимым возбуждением. Такие двигатели, управляемые путем изменения напряжения на якоре, позволяют получить широкий диапазон регулирования скорости вращения, благодаря чему широко применяется в качестве исполнительных элементов в регулируемом приводе многих производственных механизмов и в силовых следящих системах [1]. Принципиальная схема двигателя постоянного тока с независимым возбуждением показана на рис. 5 Рассмотрим статический режим работы двигателя. В этом случае без учета реакции якоря для двигателя можно записать: Ug = lg + rяiя, (14) Lg = CeФвn, (15) U = CмФмiя, (16) где Ug — напряжение на якоре двигателя [В]; iя — ток якоря [A]; rя — сопротивление цепи якоря [0м]; lg — эдс вращения [В]; ФВ — поток возбуждения [Bd]; U — скорость вращения двигателя [об/мин]; М - момент, развиваемый двигателем [H.M]. (17) конструктивные постоянные, зависящие от P — числа пар потоков двигателя, N — число активных проводников якоря (равно удвоенному числу витков обмотки якоря wя), а — число пар параллельных ветвей обмотки якоря. В установившемся режиме момент двигателя уравновешивается приведенным к валу статическим моментом сопротивления рабочего механизма Мс, т.е. М=Мс Из (14), (15), (16) получим уравнение механической характеристики двигателя или (18) где — скорость холостого хода (М=0, ig=0) —снижение скорости под нагрузкой. При Ф = const, Ug = const механические характеристики выражаются уравнением прямой (рис.6а). Конструктивные постоянные двигателя можно определить по его номинальным данным. Из уравнения (17), (18) или где Рном — номинальная мощность на валу двигателя [вт] Составим уравнение динамики двигателя в отклонениях при Фв = const, не учитывая для упрощения реакцию якоря. За входную величину примем напряжение на якоре, а за выходную — скорость вращения. Рассмотрим случай, когда момент сопротивления на валу двигателя не зависит от скорости вращения. Введем обозначения: Сl Фв =Сеg; См Фв = Смg Для цепи якоря, учитывая, что lg = Cegn, при нулевых начальных условиях запишем (19) Динамический момент двигателя ,где wg — угловая скорость. Заменим wg на n(об/мин). Тогда уравнение равновесия моментов принимает вид: (20) где I=Ig+Iнпр — момент инерции на валу двигателя (кг.м2); Ig — момент инерции якоря двигателя; Iнпр=Kp2IH — момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя (Кр- коэффициент передачи редуктора). Так как M(t) = CнgIg(t), то после подстановки и совместного решения получим уравнение двигателя; (21) Из (21) найдем Iz и подставим в (19):
Обозначим представим После таких подстановок получим дифференциальное уравнение двигателя по скорости: (22) Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях получим (TzTemS2+TmS+1)U(S)=KgUg (S) – (Tz S+1)Kgb Mc (t) (23) Приведем некоторые выражения для определения параметров двигателя. Так, индуктивность якоря Lя можно приближенно определить по формуле [гн] где r = 0,25 +0,6 (нижнее значение принимается для компенсированных машин, верхнее — для некомпенсированных). Электромеханическая постоянная времени Тэм где — падение скорости двигателя в номинальном режиме. При конструировании двигателя стремиться выполнить соотношение Тэм > 4Тя, так как, в противном случае, двигатель будет обладать колебательными свойствами. При этом уравнение (10) можно представить в виде (T1 S +1)(T2 S+1)U(S)=KgUg (S) – (Tz S+1)Kgb Mc (S) где (24) Если Тэм >> Тя, то пренебрегая величиной Тя, переходим к приближенному уравнению первого порядка (TemS+1)U(S)=KgUg (S) – Kgb U (S) Часто за выходную величину двигателя принимается угол поворота вала a(рад). При этом, учитывая, что ag(s)=1/S wg(S), a wg[рад/сек]=1/9,55 U[об/мин] получим при Uc=0 (Tem S+1)Sa(S)=(Kgb /9,55)Ug(S) = KUg (S) Рассмотрим технические данные двигателя постоянного тока серии П-22 (UHOM=1500 об/мин; UHOM=220 B; PHOM=1 кВт; IHOM=5,9 A; h=77%; 2r = 2; 2a=2; wz=864; rв = 712 ом; rz=4,17 ом; rcт=0,25 ом; GD2=0,055 кг*м2) при Iн пр =0,014 кг*м2. Определим Принимаем b=0,3, находим Момент инерции на валу двигателя I = Iд+Iн пр =0,0138+0,014» 0,028 н*м2 Тогда
1.4. Расчет параметров и составление уравнения гидравлических серводвигателей [2] Гидравлические серводвигатели выполняют с поступательно движущимся поршнем (рис. 7, а) или с поворотной лопастью (рис, 7,б). В качестве источников питания для гидравлических двигателей применяют, насоси, компрессоры, гидроаккумуляторы. Составим упрощенную эквивалентную схему (рис. 8), на которой золотник заменен двумя задвижками n и m, жестко связанными между собой. Схема изображает работу серводвигателя при движении поршня вверх. Обозначим Р0 — давление в напорной трубе; Р1, Р2 — давление масла в нижней и верхней полостях серводвигателя; Pа — давление на сливе. Составим уравнение расхода масла, протекающего через дросселируемое отверстие: (26) где m — коэффициент расхода масла при полностью открытых отверстиях; ХK — перемещение золотника; b — ширина отверстия, q — ускорение свободного падения. Уравнение расхода масла, вытекающего через сливное отверстие (27) Уравнение расхода масла для нижней полости Q1 =Qгц +Qс1 (28) для верхней полости Q1 =Qгц +Qс1 (29) где Qгц —расход масла через гидравлический цилиндр, затрачиваемый на перемещение поршня; Qc1, Qc2 — количество масла, расходуемого на сжатие (расширение). Расход масла через гидравлический цилиндр определяется по следующей формуле: (30) Где F—площадь цилиндра; —скорость перемещения потока. Определим Qc1 и Qc2 для чего введем понятие о коэффициенте объемного сжатия (31) где DV - уменьшение объема масла при увеличении давления на DР. Количество сжатой жидкости (32) Переходя от приращений к дифференциалам, получим (33) На основании этого уравнения запишем расходы жидкости на сжатие или расширение в виде
(34) Подставив (34) в (28), (29) с учетом (16), получим + — (35) Уравнение движения штока запишем в виде: (36) где m — масса поршня, штока и остальных движущихся частей. Линеаризуем уравнения (26) и (27), (35) и (36), P1=P10+DP1; P2=P20+DP2; Xe =X10 +DXe; Q1=Q10+DQ1; Q2= Q20+DQ2 В результате получим следующие уравнения в отклонениях (37) + — Приравнивая соответственно выражения для DQ1, и DQ2 отклонении, получаем = + (38) = — Будем считать, что поршень находится в среднем положении, когда. V1=V2=V; в установившемся состоянии P10=P20; Q10=Q20. Тогда P10+P20=P0; P10=P20=P0/2 (39) Подставляя полученные зависимости в (38) и используя последнее уравнение (37), получим (40) Опустив знаки приращений, получим (41) Применив прямое преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим (42) Обозначим Тогда (T2гпS2+2TгпxгпS+1) (43) 1.5. Расчет параметров и составление уравнений пневматического серводвигателя [2] В системах автоматического управления работами и манипуляторами широко применяются пневматические серводвигатели как с поступательным перемещением штока, так и с вращательным. Рассмотрим серводвигатель поршневого типа (рис.9), состоящий из распределительного клапана и силового цилиндра. Составим уравнение динамики двигателя этого типа. Запишем уравнение моментов (44) где F - площадь поршня; m — приведенная маccа поршня. Учитывая уравнения расхода воздуха для полостей силового цилиндра
(45) (где Q1 и Q2 — секундные расходы воздуха в полостях; q — ускорение свободного падения; V1 и V2 — объемы полостей; r1 и r2 — плотности воздуха в полостях), получим зависимости, определяющие приток воздуха в полость 1 или его расход из полости 2, считая скорость истечения дозвуковой, (46) (47) где m — коэффициент расхода воздуха; b — эквивалентная ширина отверстия; Х — перемещение штока золотника; P0 — давление воздуха на входе в золотник; p0 — давление воздуха в среде; r0 — плотность воздуха на входе в эолотник; ra — плотность воздуха при давлении Pa; U - показатель политропы. Зависимости, связывающие между собой давление воздуха и его плотность, имеет вид
(48) После дифференцирования правых частей выражения (45) и подстановки в них формул (46), (44) получим (49) где L — длина цилиндра с учетом высоты поршня (50) С учетом (49), (50), запишем уравнение моментов в приращениях где y=y0+Dy; p1=p10+Dp; p2=p20+Dp2; x=x0+Dx 1.6. Расчет параметров и составление уравнений воздушного ресивера [2] Рассмотрим в качестве объекта управления воздушный ресивер, общий вид которого показан на рис. 10. На входе ресивера установлено заслонка с сечением F1, а на выходе - с сечением F2. Газ под давлением Р1, большим критического, поступает через сечение F1, в ресивер объекта \/, где устанавливается давление P. Следовательно истечение черва F1, будет сверхкритическим. Газ через сечение F2 поступает к потребителю под давлением P2, меньшим критического. Скорость истечения газа является докритической. Составим уравнение динамики в ресивере в виде (52) где g — удельный вес газа в рессивере; G1 — массовый расход газа в сечении F1; G2 — весовой расход газа в сечении F2. При малом изменении температуры газа уравнение (52) будет (53) где R — постоянная Клапейрона; T — абсолютная температура газа. При.cверхкритическом истечении газа через сечение F1, массовый расход определяется по формуле (54) где m — коэффициент расхода через сечение F1; К — показатель адиабаты газа; V1 — удельный объем газа в сечении F1. Уравнение (54) с помощью подстановки , приводится к виду где
Для докритического истечения газа череэ сечение F2 можно найти его массовый расход (55) или в упрощенном виде (56) где T — температура газа внутри ресивера. Тогда с учетом (55), (56) получим уравнение (53) в виде Считая, что P1 и Р2 постоянны, после линеаризации получим Уравнение статики будет иметь вид а уравнение динамики в приращениях Разделив левую и правую части уравнения на G0, после некоторых преобразований, получим Так как то Обозначим (57) Обозначим Dp/p = y; DF/F0=x1; DF/F20=x2; vp0/RTG0=T0; (2p0 – p2)/2(p0 – p2)=a Тогда уравнение (57) принимает вид (58) Если принять, что выходное сечение F2=const, то уравнение (57) приводится к окончательному виду (59) В этом уравнении параметр a называется степенью самовыравнивания объекта управления. Степень самовыравнивания характеризует поведение объекта управления без регулятора. При a>0 объект управления обладает положительным самовыравниванием, в результате чего при перемещении заслонки F1, на некоторую величину DF1 в ресивере устанавливается заданное давление. Если a<0, то объект управления имеет отрицательное самовыравнивание. В данном случае перемещение заслонки на некоторую величину DF1 приведет к возрастанию давления в ресивере до значения P1. В этом случае обеспечить устойчивую работу объекта без регулятора невозможно. Наконец, если a=0, то объект управления обладает нулевым самовыравниванием. 1.7. Выбор мощности исполнительного двигателя системы автоматического управления [1] Рациональный выбор мощности исполнительного двигателя cистемы управления позволяет уменьшить потребление энергии и получить минимальные габариты и вес системы, которые определяются в основном двигателем и усилителем мощности. В качестве исполнительных двигателей с управляемой скоростью вращения в САУ применяются двигатели переменного тока, постоянного тока с независимым возбуждением, гидравлические и др. Рассмотрим рекомендации по выбору электродвигателя, как исполнительного устройства САУ. При этом скорость вращения двигателя должна превышать скорость вращения входного вала нагрузки. Поэтому двигатели соединяются с нагрузкой через редуктор. При выборе мощности исполнительного двигателя необходимо определить коэффициент передачи редуктора, при котором обеспечивается заданные скорости вращения и ускорения на входном валу нагрузки, а требуемая мощность двигателя будем минимальной Рассмотрим двигатели с линейными механическими характеристиками (рис. П), т.е. двигатели с независимым возбуждением.
Наклон механической характеристики определяется коэффициентом краткости между пусковым и номинальным моментами: m=Mп/Мном (60) Для двигателей постоянного тока m=2+2,5, для асинхронных двигателей с полым ротором m»2. Так как для двигателей постоянного тока ток пропорционален моменту, то величина определяется допустимым пусковым током. В переходном режиме момент двигателя определяется уравнением (61) из которого видно, что он идет на преодоление сил энерции и статического момента сопротивления. Если статический момент, обусловлен силами трения, то он является функцией знака скорости: Mc(wg)=Mcsign wg (62) и всегда оказывает тормозящее действие. Такой статический момент создает в замкнутой системе зону нечувствительности (кривая I на рис.11,б), которая характеризуется напряжением трогания Uтр=(Mc/Mn)Uy max где Uy max — максимальное напряжение на двигателе, соответствующее насыщению управляющего усилителя. Это напряжение стремятся сделать минимальным, а для этого необходимо выполнение условия Mc <<Mn При Uтр£ 0,1Uy max характеристику двигателя можно считать линейной (кривая 2 на рис. 11,б). В реальных системах напряжение трогания необходимо брать не больше 0,2+ 0,25Uymax. При Uтр>0,1Uy max система управления становится нелинейной из-за зоны нечувствительности двигателя и люфта редуктора. Для уменьшения влияния нелинейностей целесообразно применять гибкие обратные связи от выходной координаты двигателя. В расчетах зону нечувствительности характеристики управления удобно определять через коэффициент (64) При линейных механических характеристиках Uy max развивается мощность на валу (Вт) Pg=Mwg=Mwgo(1 - M/Mn) (65) где wgo — скорость идеального хх двигателя (рад/сек); M—момент двигателя (Н*М). Кривая Pg =Mwg показана на рис.11,а. При M=0,5Mn и wg=0,5wgo мощность двигателя достигает максимального значения Pgmax=0,25Mnwgo (66) Пусть задан момент энерции IH[кг*м2], статический момент сопротивления Мстн[H*M], максимальная скорость вращения wMmax[рад/сек] и ускорение EHmax[рад/сек] нагрузки. Передаточную функцию двигателя представим в виде (67) где Тэм — электромеханическая постоянная времени двигателя c учетом момента инерции нагрузки, (сек). Переходный процесс определяется уравнением wg(t)=wg уст(1 – е – t/Tэм) (68) установившаяся скорость принимает значение wgуст=wgo(1 - gc) (69) а ускорение, развиваемое двигателем (70) Величины wд и eд взаимосвязаны соотношением (71) Из (61) и (66) следует, что усилитель будет работать в линейном режиме при выходном: напряжении Uy <= Uy max если выполняется условие (72) где I=sIд +Кp2IH — суммарный момент инерции; s — коэффициент, учитывающий момент инерции редуктора; Iд — собственный момент инерции двигателя; Кр2IH —момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя; Mc=Mcg+KpMсн/hр —суммарный статический момент сопротивления, приведённый к валу двигателя, где Мсд — собственный статический момент сопротивления двигателя, КрМсн/hр — статический момент сопротивления нагрузки, приведенный к валу двигателя; hр — кпд редуктора. Потребляемая мгновенная мощность на валу (73) А так как мощность наибольшая при wд =0,5wдо, то желательным коэффициентом передачи редуктора является (74) Найдем оптимальное значение Кр, при котором момент двигателя и мощность при wнmax и eнmax минимальны (75) Минимизируя (46) по Кр, получим (76) Приравнивая (74), (76), найдем (77) При этом, подставляя Iд (77) в (75), найдем (78) При значениях можно считать, что MHOM=0,5Mn и Pg max=MHOM(wgo/2) Ориентировочно номинальная мощность двигателя (79) где b=2 при Mcn<IHeH max =2 –3,5 при Mcn>=IHeH max Необходимые при расчете значения коэффициентов s и hр можно выбирать из следующих рекомендуемых величин: s = 1,1¸1,5, наибольшее значение для асинхронных двигателей с полым ротором; hp= 0,7 + 0,9 при Pном < =100 вт hр=0,9+0,94 при Рном> 100 вт Сделав первоначальный выбор двигателя, необходимо произвести проверочный расчет: 1) принять коэффициент передачи редуктора Кр опт, определив его по формуле (76); 2) найти статический момент сопротивления на валу двигателя; Мс=Мсд+Кр опт McN/hр 3) определить величину gс=Мс/Мn. Если gс<=0,1, то для дальнейших расчетов принимается Кр опт, при этом значение Кр опт должно быть близким к значению Кр, определенному из (74);. 4) вычислить электромеханическую постоянную времени Tэм =I wgo/Mn 5) проверить соотношение (72) при wн max и en max взяв значение модности Рg при wg=wн max /Kp, а величину развиваемого двигателем момента — из его механической характеристики. Если условие (72) выполняется и запас по мощности невелик, то параметры выбранного двигателя следует считать удовлетворительными. 1.8. Представление объектов и устройств систем управления в виде передаточных функций С целью упрощения методов расчете и проектирования систем автоматического управления динамики, представленные в виде дифференциальных уравнений, целесообразно записывать не через оригиналы функций, а в виде изображении функций, полученных с помощью прямого преобразования Далласа при нулевых начальных условиях [4,5]. Выполним прямое преобразование Лапласа для дифференциального уравнения Так как изображение производной при кулевых начальных условиях то а3S3y(S)+a2S2y(S)+a1Sy(S)+d0y(S)=bx(S) или (а3S3+a2S2+a1S+d0 )y(S)=bx(S) Определим отношение изображения выходного сигнала к изображении входного сигнала при нулевых начальных условиях Это отношение изображений называется передаточной функцией W(S). Тогда передаточная функция двигателя постоянного тока будет иметь вид при условии, что Mc=0. Передаточная функция гидравлического серводвигателя
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.073 сек.) |