Контрольной работы. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РГТЭУ)

ЮЖНО-САХАЛИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

Контрольные работы и методические указания по их выполнению

По дисциплине «Линейная алгебра»

для студентов заочной формы обучения

направления 080100.62 «Экономика»

профиль «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Составитель: доц. Никитина А.Б.

Правила выполнения контрольной работы

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке должны быть указаны ФИО, курс, направление, номер (шифр), название дисциплины, дата отсылки, адрес. Внизу обложки указать дату выполнения и поставить свою подпись.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по своему варианту. Номер Вашего варианта соответствует последней цифре шифра (цифра 0 соответствует 10-му варианту). Контрольная работа, содержащая не все задачи или задачи не своего варианта, не засчитывается.

4. Решения задач надо расположить в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условия задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

6. При наличии замечаний рецензента необходимо выполнить заново конкретное задание с учетом замечаний в этой же тетради.

7. После выполнения контрольной работы студент допускается к ее защите.

Методические указания и решение типового варианта

контрольной работы

Задача. Найти: а) , ;

б) модуль вектора ;

в) скалярное произведение ;

г) векторное произведение векторов ;

д) смешанное произведение векторов ; .

Решение: Пусть даны две точки в пространстве А (х₁, у₁, z₁), В (х₂, у₂, z₂). Вектором в пространстве называется направленный отрезок. Обозначается , координаты вектора находятся как разность соответствующих координат точек = (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁). Длина вектора находится по формуле . Для двух векторов , , , , , j = , из последней формулы .

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле , – ортонормированный базис.

Смешанное произведение находится как , где .

Пример. Найти: а) , ;

б) модуль вектора ;

в) скалярное произведение ;

г) векторное произведение векторов ;

д) смешанное произведение векторов ; .

А (4, 2, 6), В (–1, 2, 1), С (1, 0, –1).

Решение:

а)

б) ;

в)

;

г) ;

д) ,

где .

Задача. Доказать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Базисом в пространстве R_n называется совокупность n векторов, таких, что любой другой вектор этого пространства может быть представлен в виде разложения по данному базису. В трехмерном пространстве R₃, если существуют числа a, b, g, такие, что любой другой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации трех базисных векторов , т. е. . В трехмерном пространстве базисом могут быть любые три некомпланарных вектора, так как их смешанное произведение не равно нулю: .

Пример. Доказать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе: , , .

Решение: образуют базис, если они некомпланарные, т. е.

, так как смешанное произведение отлично от нуля, то образуют базис. В данном базисе любой другой вектор представлен в виде линейной комбинации данных векторов , a, b, g – координаты вектора в базисе .

Последнее равенство равносильно системе:

, D = 12 ¹ 0, то система имеет единственное решение.

,

,

.

Ответ: = .

Задача. Сила приложена к точке А. Вычислить:

а) работу силы , если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась в точку В;

б) модуль вращающего момента силы , приложенной к точке В.

Решение:Если некоторая сила приложена к материальной точке А и при этом точка А прямолинейно переместилась в точку В, то работа А силы определяется по формуле А = , где . Понятие векторного произведения применяется при решении физических задач. Например, для нахождения вращающего момента силы пользуемся формулой , где – сила, приложенная к точке В, относительно точки А.

Пример. Сила приложена к точке А. Вычислить:

а) работу силы , если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась в точку В;

б) модуль вращающего момента силы относительно точки В.

Решение:

а)ИзвестноА = , = (3, 2, –1), А (1, 3, 1), В (3, 5, 0), где , так как точка А переместилась в точку В, то = (2, 2, –1); следовательно, А = (3, 2, –1)(2, 2, –1) = 6 + 4 + 1 = 11.

Ответ: А = 11;

б) , = (3, 2, –1),

.

.

Ответ: .

Задача. Заданы три точки пространства А, В и С. Найти:

а) уравнение стороны АВ треугольника АВС;

б) периметр треугольника (до 0,01);

в) уравнение плоскости (АВС);

г) площадь треугольника (до 0,01).

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства А (х₁, у₁, z₁) и В (х₂, у₂, z₂), имеет вид

(АВ): .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки пространства, имеет вид

(АВС): , где С (х₃, у₃, z₃) некоторая точка пространства, отличная от А и В. Площадь треугольника, построенного на двух векторах, находится по формуле S= .

Пример. Заданы три точки пространства А, В и С (координаты точек взять из задания 1.1. Найти:

а) уравнение стороны АВ треугольника АВС;

б) периметр треугольника (до 0,01);

в) уравнение плоскости (АВС);

г) площадь треугольника (до 0,01).

А (4, 2, 0), В (–1, 2, 1), С (1, 0, –1).

Решение:

а) Уравнение прямой, проходящей через две точки А (4, 2, 0) и В (–1, 2, 1), имеет вид (АВ):

и у = 2;

б)

;

в) (АВС):

2(х – 4) – 8(у – 2) + 10z = 0

2х – 8у + 10z + 8 = 0

х – 4у + 5z + 4 = 0.

Ответ: х – 4у + 5z + 4 = 0;

г)

Ответ: S = 6,48 кв. ед.

Задача. Проверить совместность системы линейных алгебраических уравнений и решить ее:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) матричным методом.

Решение: Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов, при неизвестных отличен от нуля.

(1)

Рассмотрим три метода решения систем линейных алгебраических уравнений:

а) Правило Крамера (m = n)

Система (1) имеет единственное решение, если D ¹ 0, которое находится из формулы

х_i = ,

где D_I – определитель, полученный из определителя D путем замены i-того столбца столбцом свободных членов системы.

б) Метод Гаусса

Система m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными с помощью элементарных преобразований приводится к виду:

(2)

Из последнего уравнения определяется х_m, из предпоследнего уравнения находится х_m–1 и т. д.

в) Матричный метод

Систему (1) можно записать в виде

АХ = В, (3)

где А = – квадратная матрица, причем detA ¹ 0.

Х = , В = .

Умножив обе части равенства (3) на А^–1, получим

А^–1АХ = А^–1В или Х = А^–1В. (4)

А^–1 – обратная матрица.

А^–1= , А^t= , (5)

А_ij – алгебраические дополнения к соответствующим элементам а_ij. А_ij = (–1)^i+jM_ij. M_ij – минор элемента а_ij. Минор M_ij – это определитель (n – 1)-го порядка, полученный из определителя D n -го порядка путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца.

Задача. Проверить совместность системы линейных алгебраических уравнений и решить ее: а) методом Крамера, б) методом Гаусса, в) матричным методом.

Решение: Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов, при неизвестных отличен от нуля

.

а) Метод Крамера

, х₁ =

, х₂ =

, х₃ = .

Ответ: (3, 1, 1).

б) Метод Гаусса

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Последней матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной.

.

Ответ: (3, 1, 1).

в) Матричный метод

Систему (1) можно записать в виде

АХ = В,

тогда Х = А^–1В det = –60

X = –

Х= = .

Ответ: (3, 1, 1).

Поиск по сайту: