Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Текущая аттестация проводится дважды в месяц. Критерии формирования оценки — посещаемость занятий, активность студентов на семинарских занятиях, уровень подготовки к семинарским занятиям, выполнение домашних заданий.

Промежуточная аттестация проводится в середине и в конце семестра в форме контрольных работ с оценкой. Критерии формирования оценки — уровень знаний пройденного материала.

Примерные варианты контрольных работ:

Контрольная работа №1 (линейные пространства)

1. Составить однородную систему линейных алгебраических уравнений (состоящую из минимального числа уравнений), для которой заданные столбцы образуют фундаментальную совокупность решений: , .

2. Найти базис линейной оболочки заданных столбцов, разложить каждый заданный столбец по найденному базису: , , , , , .

3. В трёхмерном линейном вещественном пространстве введены базисы , , ("старый") и , , ("новый"). Найти столбцы координат , элементов x, y, если заданы их столбцы координат , . Здесь: , , ; , .

4. Найти матрицу линейного оператора, переводящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y. Найти ядро и образ этого оператора. Здесь: , .

5. Найти матрицу линейного оператора в "новом" базисе, если задана его матрица в "старом" базисе и задана матрица C перехода от "старого" базиса к "новому". Здесь: , .

6. Линейный оператор A задан своей матрицей в некотором базисе. Найти собственные значения и собственные векторы оператора A. Здесь .

7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

8. Линейный оператор A задан своей матрицей в некотором базисе. Привести матрицу оператора A к диагональному виду. Здесь .

9. Рассматривается трёхмерное линейное вещественное пространство. Задано выражение для квадратичной формы Q в некотором базисе: . Привести квадратичную форму Q к каноническому виду методом Лагранжа.

Контрольная работа №2 (линейные евклидовы пространства)

1. В линейном унитарном пространстве столбцов высоты 3 со скалярным произведением заданы элементы , , . Проверить, что эти элементы образуют базис пространства и вычислить компоненты ковариантного метрического тензора в этом базисе. Здесь: , , .

2. Применить процесс ортогонализации (без нормировки) к заданной системе столбцов: , , , . Скалярное произведение определено формулой .

3. Построить ортонормированный базис линейного евклидова пространства многочленов степени не выше 2 на сегменте , применив процесс ортогонализации к системе многочленов 1, t, . Скалярное произведение определено формулой .

4. В линейном евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 на сегменте со скалярным произведением задан линейный оператор A, действующий по правилу . Записать в простейшем базисе матрицу этого оператора и матрицу сопряжённого оператора. Здесь .

5. В трёхмерном линейном евклидовом пространстве действует линейный оператор A, заданный своей матрицей в неортогональном базисе , , , векторы которого линейно выражены через векторы ортонормированного базиса , , . Доказать, что оператор A является самосопряжённым, найти его собственные значения и координаты его собственных векторов в базисе , , , показать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Здесь: , , ; .

6. Линейный самосопряжённый оператор A задан своей матрицей в некотором ортонормированном базисе. Построить ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и записать матрицу оператора A в этом базисе. Здесь .

7. Построить спектральное разложение линейного самосопряжённого оператора A, заданного своей матрицей в некотором ортонормированном базисе. Убедиться в том, что оператор A является неотрицательным и вычислить . Здесь .

8. Квадратичные формы A, B заданы своими матрицами , в некотором базисе. Привести квадратичные формы A, B к каноническому виду одним линейным невырожденным преобразованием. Здесь: , .

9. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, найти координаты фокусов и уравнения директрис в исходной системе координат: .

10. Используя теорию ортогональных инвариантов, исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра p, входящего в её уравнение. Записать каноническое уравнение кривой: .

Итоговая аттестация — экзамен.

Экзамен по курсу "Линейная алгебра" состоит из 1-й части. Билет содержит два теоретических вопроса и две задачи. Для получения оценок "хорошо" и "отлично" нужно знать определения понятий, включённых в курс, уметь доказывать утверждения и теоремы, включённые в курс, уметь решать стандартные задачи.

Полный перечень вопросов и задач к экзамену доступен по адресу: http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6.

Образец экзаменационного билета

1. Рассматривается линейное вещественное пространство L с базисом , , , . Задано выражение для квадратичной формы Q в базисе e: . Найти матрицу квадратичной формы Q в базисе e. Используя метод Лагранжа, привести квадратичную форму Q к каноническому виду: найти матрицу квадратичной формы Q в каноническом базисе ; найти матрицу перехода от базиса e к базису ; найти матрицу перехода от базиса к базису e.

2. Рассматривается линейное евклидово пространство H с ортонормированным базисом . Пусть A — линейный оператор в пространстве H. Доказать равенство (здесь — след оператора A).

3. Определение ранга матрицы. Ранг матрицы как размерность линейной оболочки столбцов и строк. Теорема о том, что если определитель матрицы равен нулю, то столбцы матрицы линейно зависимы. Теорема об операциях, сохраняющих ранг матрицы. Теорема о достраивании базиса подпространства до базиса подпространства (здесь ).

4. Линейный самосопряженный оператор (определение). Теорема о вещественности собственных значений самосопряжённого оператора. Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряжённого оператора, соответствующих различным собственным значениям. Теорема о вещественности корней характеристического полинома (продолженного на ) самосопряжённого оператора. Теорема о существовании ортогонального базиса, состоящего из собственных векторов самосопряжённого оператора.

Поиск по сайту: