 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Компетенции
Компетенции, необходимые для освоения дисциплины
ИК-3, ОНК-1, ПК-1
Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины
ОНК-5, ОНК-6, ПК-2
Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать основные понятия и факты теории линейных пространств и подпространств, тензорной алгебры, теории линейных операторов, теории билинейных и квадратичных форм, теории линейных евклидовых (псевдоевклидовых, унитарных) пространств, теории линейных операторов в евклидовых пространствах, теории билинейных и квадратичных форм в евклидовых пространствах, теории кривых и поверхностей второго порядка, теории групп;
уметь решать прикладные задачи матричной алгебры, находить базис линейной оболочки векторов и её линейного дополнения, находить матрицу перехода от одного базиса к другому, находить собственные значения и собственные векторы линейных операторов, приводить матрицы линейных операторов, билинейных и квадратичных форм к каноническому виду различными методами, приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду;
владеть методами решения прикладных задач матричной алгебры, основными методами исследования линейных пространств, подпространств, линейных евклидовых пространств, линейных операторов, билинейных и квадратичных форм;
иметь опыт деятельности по решению задач, перечисленных выше.
Содержание и структура дисциплины
| Вид работы | Семестр | Всего | ||
| Общая трудоёмкость, акад. часов | ||||
| Аудиторная работа: | ||||
| Лекции, акад. часов | ||||
| Семинары, акад. часов | ||||
| Лабораторные работы, акад. часов | — | — | ||
| Самостоятельная работа, акад. часов | ||||
| Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен) | зачёт, экзамен | зачёт, экзамен |
| N раздела | Наименование раздела | Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий | Форма текущего контроля | |||
| Аудиторная работа | Самостоятельная работа | |||||
| Лекции | Семинары | Лабораторные работы | ||||
| 1. | Теория линейных пространств и подпространств | Лекция №1 (2 часа). Подпространства линейных пространств. Сумма подпространств, линейная независимость подпространств, прямая сумма подпространств. Базис и размерность прямой суммы. | Семинар №1 (1 час). Нахождение координат вектора. Нахождение базиса линейной оболочки векторов и её линейного дополнения. | 5 часов. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |
| 2. | Тензорная алгебра | Лекция №2 (2 часа). Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора. Определение тензора, линейные операции над тензорами. | Семинар №2 (1 час). Нахождение матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |
| Лекция №3 (2 часа). Прямое произведение тензоров, свёртка тензора, перестановка индексов тензора (определения, простейшие свойства). Возможные обобщения. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||||
| Линейные операторы в линейных пространствах | Лекция №4 (2 часа). Линейный оператор, ядро и образ линейного оператора, линейные операции над линейными операторами. Размерность образа линейного оператора, первая теорема Фредгольма. | Семинар №3 (1 час). Нахождение матрицы линейного оператора. Нахождение ядра и образа линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об, Т | ||
| Лекция №5 (2 часа). Матрица линейного оператора (определение, простейшие свойства). Преобразование матрицы линейного оператора. | ||||||
| Лекция №6 (2 часа). Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные значения, собственные векторы, собственные подпространства линейного оператора. | Семинар №4 (2 часа). Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |||
| Лекция №7 (2 часа). Характеристический полином линейного оператора. Геометрическая и алгебраическая кратность собственного значения линейного оператора. Теорема Гамильтона—Кэли. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||||
| Лекция №8 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме. | Семинар №5 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |||
| Лекция №9 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме (продолжение). | ||||||
| 4. | Билинейные и квадратичные формы | Лекция №10 (2 часа). Линейная форма, компоненты линейной формы и их преобразование. Билинейная форма, матрица билинейной формы, преобразование матрицы билинейной формы. Квадратичная форма, матрица квадратичной формы. | Семинар №6 (2 часа) Нахождение матрицы билинейной (квадратичной формы). Восстановление билинейной (квадратичной) формы по её матрице. Преобразование матрицы билинейной (квадратичной) формы. Исследование квадратичной формы на знакоопределённость. Приведение симметричной билинейной (квадратичной) формы к каноническому виду методом Лагранжа. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об, КР. | |
| Лекция №11 (2 часа). Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||||
| 5. | Линейные евклидовы (псевдоевклидовы, унитарные) пространства | Лекция №12 (2 часа). Скалярное произведение, неравенство Коши—Буняковского. Метрический тензор (ковариантный и контравариантный). Ортогональное дополнение к подпространству, ортогональная проекция вектора на подпространство, оператор ортогонального проектирования. Процесс ортогонализации Грама—Шмидта. | Семинар №6 (2 часа). Вычисление компонент ковариантного (контравариантного) метрического тензора. Применение процесса Грама—Шмидта. Построение ортогональных проекций. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об, Т | |
| Лекция №13 (2 часа). Линейное псевдоевклидово пространство. Псевдоортогональные базисы. Преобразования Лоренца. | ||||||
| 6. | Теория линейных операторов в евклидовых пространствах | Лекция №14 (2 часа) Связь между векторами и линейными формами в евклидовом пространстве. Связь между операторами и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор: определение, простейшие свойства, матрица сопряжённого оператора. Вторая теорема Фредгольма. | Семинар №7 (2 часа). Исследование оператора на самосопряжённость. Нахождение матрицы сопряжённого оператора. Диагонализация матрицы самосопряжённого оператора. Нахождение спектрального разложения самосопряжённого оператора. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, КР, Оп, Об | |
| Лекция №15 (2 часа) Самосопряжённый оператор (определение, простейшие свойства). Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряжённого оператора. Спектральная теорема. | Семинар №8 (2 часа). Нахождение ортонормированного базиса, в котором матрица симметричной билинейной формы имеет диагональный вид. Одновременная диагонализация матриц двух симметричных билинейных форм. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ||||
| 7. | Кривые и поверхности второго порядка | Лекция №16 (2 часа). Определение кривой (поверхности) второго порядка. Упрощение уравнения кривой (поверхности) второго порядка. Ортогональные инварианты уравнения кривой (поверхности) второго порядка. Классификация кривых второго порядка. | Семинар №9 (2 часа). Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду. Исследование уравнения кривой второго порядка с помощью ортогональных инвариантов. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ||
| 8. | Элементы теории групп | Лекция №17 (2 часа). Понятие группы. Основные примеры групп. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. |
Поиск по сайту: