 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Пример решения задачи геометрическим методом
Рассмотрим следующую задачу.
Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.
Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?
Условия подобных задач часто представляют в табличной форме (см. таблицу 1).
Далее решим представленную задачу, выполнив семь шагов, описанных в разделе 2.1.
Таблица 2.1 - Исходные данные задачи
| производственные участки | затраты времени на ед. продукции, н-час | Доступный фонд времени, н-час | |
| клюшки | наборы шахмат | ||
| А | |||
| В | |||
| С | - | ||
| прибыль на ед. продукции, $ |
1. По заданному условию сформулируем задачу линейного программирования.
Обозначим: x1 - количество выпускаемых ежедневно хоккейных клюшек, x2 - количество выпускаемых ежедневно шахматных наборов.
Сформулируем задачу линейного программирования:
2. Преобразуем неравенства, входящие в систему ограничений, в строгие равенства:
На плоскости {X1, X2} построим прямые, соответствующие каждому из трех уравнений. На рисунке 1 эти прямые обозначены, соответственно, (1), (2) и (3).
3. Рассмотрим каждую из прямых и определим, в какой полуплоскости (по какую сторону от прямой выполняется исходное неравенство). На рисунке 2 эти полуплоскости обозначены штрихами на прямых.
4. Далее необходимо определить область допустимых решений. Она включает в себя точки, для которых выполняются все ограничения задачи. В нашем случае область представляет собой пятиугольник (на рисунке 3 обозначен ABCDO и окрашен цветом).
5. На очередном шаге проведем на графике прямую, соответствующую целевой функции. Желательно провести ее так, чтобы она прошла через многоугольник допустимых решений. Для нашего примера выберем h равным 40 (в этом случае прямая пройдет через многоугольник допустимых решений). Таким образом, проведем прямую, которая описывается уравнением 
На рисунке 4 прямая представлена пунктирной линией.
6. Прямую, проведенную на предыдущем шаге, передвигаем параллельно самой себе вверх (на рисунке 4 направление указано стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой многоугольника решений, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет его, является точка C. Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению задачи.
7. Осталось вычислить координаты точки С. Она является точкой пересечения прямых (1) и (2). Следовательно, для определения координат точки С решим совместно уравнения этих прямых:
Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, найдем решение задачи: 
Подставляя найденные величины в целевую функцию, найдем ее значение в оптимальной точке 
Таким образом, для максимизации прибыли компании следует ежедневно выпускать 24 клюшки и 4 набора. Реализация такого плана обеспечит ежедневную прибыль в размере $64.
Поиск по сайту: