Типовой расчет

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Задача 1. Если известны координаты точек и , то координаты вектора

Разложение этого вектора по ортам :

Длина вектора находится по формуле а направляющие косинусы равны Орт вектора

Пример 1. Даны точки

Разложить вектор по ортам и найти его длину, направляющие косинусы, орт вектора . Найдем координаты векторов:

и

Вектор

Контрольные варианты к задаче 1.

Даны точки А, В и С. Разложить вектор по ортам Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора .

1.		2.
3.	.	4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Задача 2. Если даны векторы то скалярное произведение .

Тогда ; проекция вектора на направление вектора равна , условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом: Условие коллинеарности векторов: .

Пример 2. Даны вершины треугольника Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС. С

Внутренний угол при вершине А образован векторами ,

А В

Тогда

Проекция на направление вектора :

Контрольные варианты к задаче 2

Даны точки А, В и С из задания 1. Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС.

Задача 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

можно найти по формуле а площадь треугольника, построенного

на этих векторах: где

Определитель второго порядка вычисляется по формуле: .

Пример 3. Даны вершины треугольника Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

. Находим векторы

Векторное произведение

Длина полученного вектора равна:

Так как где длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, .

Контрольные варианты к задаче 3

Даны точки А, В и С из задания 1, которые являются вершинами .

Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

Задача 4. Если даны координаты , то смешанное произведение векторов вычисляют по формуле

.

Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на векторах находятся с помощью смешанного произведения векторов:

,

Если > 0, то тройка векторов - правая.

Если < 0, то тройка левая.

Если = 0, то векторы компланарны.

Пример 4. Дан тетраэдр построенный на векторах и Найти высоту, проведенную из вершины на грань ABD.

Объем равен произведению площади основания на высоту:

находится также по формуле , поэтому

.

Вычислим векторное произведение =

Тогда

Контрольные варианты к задаче 4

1. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ,

и .

2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами ,

3. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:

4. Найти объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках

и

5. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами .

6. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках

и

7. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках и

8.Найти объем треугольной пирамиды, образованной векторами .

9. Найти объем треугольной пирамиды, образованной векторами

10. Найти объем треугольной пирамиды, образованной векторами .

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ; .

1. Найти длину вектора .

2. Найти угол между векторами .

3. Найти проекцию вектора на вектор .

4. Найти площадь грани АВС.

5. Найти объем пирамиды ABCD.

Координаты векторов:

1. Длина вектора

2.

3. Проекция вектора на вектор

4.

5.

Контрольные варианты к задаче 5

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется найти:

1) длины векторов

2) угол между векторами

3) проекцию вектора на вектор

4) площадь грани АВС;

5) объем пирамиды ABCD.

1.		,	,
2.		,	,
3.		,	,
4.		,	,
5.		,	,
6.		,	,
7.		,	,
8.		,	,
9.		,	,
10.		,	,
11.		,	,
12.		,	,
13.		,	,
14.		,	,
15.		,	,
16.		,	,
17.		,	,
18.		,	,
19.		,	,
20.		,	,
21.		,	,
22.		,	,
23.		,	,
24.		,	,
25.		,	,
26.		,	,
27.		,	,
28.		,	,
29.		,	,
30.		,	,

З а д а ч а 6 Общее уравнение плоскости имеет вид: , где - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и определяется равенством

,т.к.

Векторы лежат в одной плоскости, т.е. их смешанное произведение равно нулю . Точка является текущей,т.е. произвольной точкой плоскости.

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле .

Поиск по сайту: