Смысл и направление решения прямой и обратной задач

Математическое соотношение, отражающее количественную сторону связи явлений или объектов, называют уравнением связи.

В общем виде уравнение связи может быть представлено так: y = f (x ₁, x ₂,..., x_n)

В различных задачах функция и аргументы уравнения связи могут иметь разный смысл. Это можно видеть из примеров, приведенных в табл. 2.1.

Уравнение связи составляют после изучения и раскрытия физической сущности явлений или отношения объектов, сопутствующих работе машины или осуществлению производственного процесса ее изготовления.

Например, одним из пунктов служебного назначения токарного станка является требование об обеспечении цилиндрической формы обрабатываемой поверхности заготовки. Исследование процесса формообразования при установке заготовки в центрах показало, что для получения цилиндрической поверхности требуется, чтобы ось вращения заготовки была параллельна направлению перемещения резца в двух координатных плоскостях. Отклонение от параллельности в горизонтальной плоскости приведет к образованию конической поверхности (рис. 2.1, а), а в вертикальной – к образованию однополостного гиперболоида вращения (рис. 2.1, б).

Таблица 2.1. Примеры, раскрывающие смысл функций и аргументов в различных задачах

Рис. 2.1. Возникновение отклонений формы поверхности вала при токарной обработке

Причинами отклонения от параллельности оси вращения заготовки относительно направления перемещения резца как в горизонтальной (рис. 2.2), так и в вертикальной плоскостях могут быть собственно отклонения ξ и ζ от параллельности общей оси центров станка направлению перемещения резца, смещения Б и Г, повороты η и μ отклонения υ и ρот параллельности перемещения заднего центра относительно оси переднего центра.

Если условие образования цилиндрической поверхности при обработке заготовки в центрах обозначить через Ф, то в общем виде уравнение связи, отражающее решение данной задачи, будет выглядеть следующим образом:

Ф = f (ξ, ζ, Б, Г, η, μ, υ, ρ)

Рис. 2.2. Факторы, вызывающие отклонения от параллельности оси вращения заготовки направлению подачи резца в горизонтальной плоскости

В процессе создания машины приходится иметь дело с двумя типами задач: прямыми и обратными.

В прямой задаче значение функции в уравнении связи известно. Оно задано условиями задачи. Решение задачи сводится к переходу от функции к аргументам, т.е. к установлению значений аргументов, удовлетворяющих значению функции. Прямую задачу часто называют проектной (рис. 2.3, а).

Особенностью прямой (проектной) задачи является многовариантность

ее решения. Действительно, при наличии единственного уравнения связи и известном значении функции возможно бесчисленное сочетание значений аргументов, соответствующих значению функции. Единственный путь решения прямой задачи – подбор значений аргументов, исходя из значения функции.

Некоторого или даже значительного сокращения числа решений можно достичь, если учитывать соответствующие нормативы (если они есть), ограничивающие выбор значений аргументов, опыт решения подобных задач в прошлом, а также экономическую сторону дела.

Обратная задача имеет противоположное направление решения (рис. 2.3, б), и ее цель – определить значение функции по известным из условия задачи значениям аргументов. Обратную задачу часто называют проверочной, отражая тем самым ее характер и роль. Проверочные задачи либо сопутствуют решению проектных задач, возникая при необходимости проверить правильность проектного решения, либо возникают, если надо определить ожидаемый результат на основании предполагаемых или фактических данных о значениях аргументов.

Рис. 2.3. Схемы решения прямой (а) и обратной (б) задач

Поскольку причин для корреляционной связи между допусками не существует, то для перехода к ним достаточна зависимость

При теоретических расчетах полем допуска Т ограничивается рассеяние случайных отклонений, распределенных по нормальному закону, в пределах 6σ. Поэтому

n		∂ y	2
Ty =∑ i =1						Txi	kxi
∂ x
		i	xi
Где kxi – коэффициент, учитывающий				закон распределения отклонений

аргументов через коэффициент λ _xi (см. п. 1.3 и табл. 1.5) и избранный процент

риска, обусловливающий выход значений функции у за пределы установленного допуска; k_xi = λ _xi t; здесь t – коэффициент риска.

При распределении отклонений аргументов по нормальному закону

(λ _xi = 1/3) и риске в 0,27 % (t = 3) коэффициент k_xi = 1.

Формулы, связывающие как средние значения, так и поля допусков функции и аргументов, являются универсальными и могут быть применены для расчета допусков в связях различных физических величин при решении прямых и обратных задач.

При решении прямой задачи исходными величинами являются среднее

значение y и значение поля допуска Т_у, которыми определены границы

отклонений функции. Значения этих величин заданы условиями конструкторской или технологической задачи. Расчет допусков сводится к

установлению средних значений аргументов xi, соответствующих y, и

распределению значения Т_у между аргументами с учетом передаточных отношений и квадратического суммирования T_xi.

При решении обратной задачи известными величинами являются средние значения xi, поля допусков или поля рассеяния ω _xi фактических

отклонений аргументов. В состав исходных данных могут входить и значения коэффициентов k_xi. Решение обратной задачи сводится к определению по этим

данным соответствующих значений характеристик y, Т_у или ω _y точности

функции. Решение обратной задачи всегда одновариантно и в отношении этих величин.

Поиск по сайту: