Теоретические сведения. Под множеством понимается любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимая как единое целое

Под множеством понимается любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимая как единое целое.

Множества будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита; объекты, которые образуют множества, будем называть элементами множества и обозначать малыми буквами латинского алфавита. Если элемент x принадлежит множеству X, то этот факт записывается в виде , иначе . Как правило, считается, что все элементы множества различны. Множество с повторяющимися элементами называется мультимножеством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным; в противном случае множество называется бесконечным. Количество элементов конечного множества называется мощностью и обозначается =n, если множество X содержит n элементов. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается

Для произвольных множеств X и Y можно определить два типа отношений – отношение равенства и отношение включения.

Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Принято обозначение X=Y, если X и Y равны, и X¹Y- иначе.

Если каждый элемент множества X является элементом множества Y, то говорят, что X включено в Y и обозначают :

В этом случае говорят, что множество X является подмножеством множества Y. В частности X и Y могут совпадать, поэтому называется также отношение нестрогого включения.

Если и , то говорят, что X есть собственное подмножество Y и обозначают , отношение между множествами в этом случае называется отношением нестрогого включения.

Невключение подмножества X в множество Y обозначается

Заметим, что если X является подмножеством Y и наоборот, то X и Y состоят из одних и тех же элементов, поэтому

и

Если в рамках некоторого рассуждения рассматриваются подмножества некоторого множества, то оно называется универсальным, или универсумом и обозначается U [7].

Множество может быть задано различными способами [1, 2, 6]: перечислением элементов в скобках (для конечных множеств) или указанием их свойств, однозначно определяющих принадлежность элементов данному множеству, при этом используется запись

X={ обладает свойством P(x)}

(выражение в скобках читается: множество всех элементов x, которые обладают свойством P(x). Так, множество натуральных чисел N={1,2,…} может быть описано следующим образом:

N={ если целое то }.

Для получения новых множеств из уже существующих используют операции над множествами [1, 2, 6]. Рассмотрим основные из них.

Объединением множеств X и Y называется множество , все элементы которого являются элементами множества X или Y:

={ x x или }.

Пересечением множеств X и Y называется множество , элементы которого являются элементами обоих множеств X и Y:

={ x | x X и x Y}.

Очевидно, что выполняются включения

;

Дополнением множества X называется множество всех тех элементов x, которые не принадлежат множеству X:

={ x | x U и x ÏX}.

Разностью множеств X и Y называется множество X\Y всех тех элементов X, которые не принадлежат Y:

X\Y={ x x и }=XÇ .

Дополнение множества Х представляется с помощью операции разности следующим образом

=U\X.

Симметричной разностью множеств X и Y называется множество

.

Пример. Пусть на универсуме U={ a, b, c, d, e, f, g } определены множества X={ a, c, d, f } и Y={ b, d, e, f }, тогда

XÈY={ a, b, c, d, e, f },

XÇY={ d, f },

={ b, e, g },

X\Y={ a, c },

Y\X={ b, e },

XÅY={ a, b, c, e }.

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств X и Y называется множество упорядоченных пар вида

{(x, y) x и }.

Пример. Пусть X=

Тогда .

Две пары (x, y) и (u, v) считаются равными тогда и только тогда, когда x = u и y = v.

Для любых множеств X, Y, Z справедливы следующие тождества (основные свойства операций над множествами):

1. (коммутативность);

2.

(ассоциативность);

3.

(дистрибутивность);

4.

5.

6. (комплиментарность);

7. (идемпотентность);

8.

(законы де Моргана);

9. (двойное дополнение);

10.

(законы поглощения).

Примеры решения задач

Поиск по сайту: