Примеры решения задач. 1. Задача 1.Определить свойства отношения R={(x,y)| x,yÎR и x+2=y+1}

1. Задача 1. Определить свойства отношения R={(x, y)| x, y Î R и x +2= y +1}. Отношение задано на множестве действительных чисел R.

Решение.

1. Проверим отношение на рефлексивность.

Условие (x, x)ÎR для данного отношения принимает вид x +2= x +1. Полученное соотношение не выполняется ни для одного значения x Î R. Поэтому данное отношение является антирефлексивным.

2. Проверим отношение на симметричность. Условие (x, y)ÎR для данного отношения принимает вид x +2= y +1. Условие (y, x)ÎR для данного отношения принимает вид y +2= x +1.

Получаем систему уравнений и исследуем ее на совместность.

Из первого уравнения x +2= y +1 получим x +2+1= y +1+1, x +3= y +2. Из второго уравнения системы y +2= x +1, т. е. получаем x +3= x+ 1, что не является верным ни для одного значения x Î R. Таким образом, отношение является антирефлексивным.

Опровергнуть свойство можно используя прием контрпримера. Для этого возьмем, например, пару (3,4). Она принадлежит рассматриваемому отношению, так как выполняется условие 3+2=4+1. Проверим принадлежит ли отношению пара (4,3). Так как 4+2¹3+1, то отношение не является симметричным.

3. Проверим отношение на транзитивность. Составим систему уравнений, соответствующую определению транзитивности:

Из первого и второго уравнений системы исключим y:

y +2= z +1, y = z -1, x +2= z -1+1, x +2= z.

Полученное соотношение не совпадает с третьим уравнением системы. Следовательно, отношение не является транзитивным.

Поиск по сайту: