Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Пример. Разберем пример: .

Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Он состоит в следующем. Ищем решение нашего уравнения в виде: , где - некоторая дифференцируемая функция. Тогда и, подставляя в уравнение, получаем: или . Интегрируя, находим: . Тогда . Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши ( - непрерывная функция от , а ее производная по , равная 1, тоже).

В общем случае уравнения , где - непрерывные на функции мы поступаем вполне аналогично. Сначала решаем вспомогательное однородное уравнение: , (мы не рассматриваем решение ), откуда, обозначая любую первообразную для функции , находим, ограничиваясь случаем , для определенности, , или . Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде . При этом . Подстановка в уравнение дает или . Интегрируем и, обозначая первообразную для , получаем . Тогда . Эту формулу иногда записывают в виде , понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида .

Например, . Уравнение, после преобразования к виду даст равносильную ему совокупность , откуда .

Другой способ – введение параметра.

Например, уравнение можно решить так: введем параметр . Тогда , откуда . Но и мы приходим к уравнению или . При из этого уравнения получаем . Тогда и мы получаем параметрические уравнения: . В этом случае параметр удается исключить: и - явное решение. В случае из получаем .

Указанный прием применим к уравнениям Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет вид , где - дифференцируемые функции. Полагая , получаем . Дифференцируя, получаем: или , откуда . Предполагая, что , получаем уравнение , линейное относительно . Решаем его указанным выше методом и получаем выражение для через и произвольную постоянную . Тогда .

Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем (т.е. , как раз оставшийся случай), или . Тогда, если , то и - это общее решение уравнения Клеро. Если же , то . Тогда .

Пример 3.1. Рассмотрим уравнение

(3.4)

Характеристическая система для этого уравнения:

(3.5)

Решение этой системы (характеристики) имеет вид

Первым интегралом системы (3.5) является функция . Следовательно, общее решение уравнения (3.4) будет

т.е. произвольная однородная функция переменных .

Для нахождения первого интеграла характеристической системы (3.3) можно исключить переменную и получить обыкновенное дифференциальное уравнение

(3.6)

Если - общее решение этого уравнения, то выразим произвольную постоянную через и получим первый интеграл системы (3.3) . Аналогично поступим, если будет найден общий интеграл уравнения (3.6)

Пример 3.2. Рассмотрим уравнение (3.7)

Характеристическая система будет иметь вид (3.8)

Исключим переменную из этой системы

Разделяя переменные, получим

Проинтегрировав это уравнение, находим его общий интеграл

Это соотношение одновременно является первым интегралом для системы (3.8). Заметим, что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат. Итак, общее решение уравнения (3.7) имеет вид (3.9)

Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§6. Классификация линейных уравнений второго порядка

Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка, линейные относительно старших производных, т.е. имеющие вид

(6.1)

где являются функциями и .

С помощью преобразования переменных

допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать, чтобы функциональный определитель

был отличен от нуля), можно получить уравнение, эквивалентное исходному. Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные и , чтобы относительно них уравнение имело наиболее простой (канонический) вид.

Попытаемся выбрать переменную так, чтобы коэффициент в уравнении (6.4) был равен нулю. Для этого необходимо, чтобы было решением уравнения

(6.6)

Уравнение (6.6) можно записать в виде произведения

Таким образом, решение уравнения (6.6) свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка

(6.7)

Из §3 следует, что для решения уравнений (6.7) надо найти общий интеграл каждого из уравнений

(6.8)

На вид решений уравнений (6.8) существенно влияет знак подкоренного выражения . По знаку этого выражения определяется тип уравнения (6.1).

Будем называть уравнение (6.1) в точке

гиперболического типа, если ,

эллиптического типа, если ,

параболического типа, если .

Можно убедиться в справедливости равенства

из которого следует, что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных.

Следует отметить также, что тип уравнения зависит от точки и в разных точках может быть разным.

Поиск по сайту: