Глава 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§1. Общие понятия

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где - функция, определенная в некоторой области пространства , - независимая переменная, - функция от , - ее производные.

Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Функция называется решением уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: .

Интегральная кривая – это график решения.

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема. (О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области , причем - также непрерывен в . Тогда для любой точки задача Коши: имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения и , определенные на интервалах и , содержащих точку , то они совпадают на пересечении этих интервалов.

Теорему оставим без доказательства.

Замечание. Говорят, что решение дифференциального уравнения на интервале есть продолжение решения на , если и на . Также говорят, что решение - максимальное или непродолжаемое относительно , если не обладает продолжениями, целиком лежащими в .

Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на . . Интегрируя обе части, получаем . Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде . Это – искомая интегральная кривая.

Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.

Пример 1. . Очевидно решение . Если же , то уравнение можно заменить таким: , откуда . Если считать, что , то , откуда или . Аналогично, при получаем .

Пример 2. . - решение уравнения. При имеем: , и . Аналогично, при .

В точках единственность решения нарушается. Отметим, что это не противоречит теореме единственности: - не непрерывен в 0.

Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. . Оно имеет решение . Пусть теперь . Преобразуем уравнение так: (правая часть имеет вид - это однородное уравнение). Полагаем . При этом и получаем уравнение . Значит, .

Уравнения вида . Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые и пересекаются в точке , то замена приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые не пересекаются, то и замена приведет к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 1.1. Пусть дано уравнение . Это уравнение фактически означает, что функция не зависит от . Следовательно, решениями являются, например, функции . Общее решение: , где – произвольная функция одной переменной .

Пример 1.2. Рассмотрим уравнение . Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной

(1.2)

При интегрировании по мы считаем постоянным и поэтому произвольная постоянная в (1.2) может зависеть от . Тем самым общее решение имеет вид:

Пример 1.3. Пусть дано уравнение . Из примера 1.1 следует, что . Решая это уравнение аналогично тому, как решалось уравнение в примере 1.2, будем иметь

Обозначим . Тогда общее решения примет вид

Заметим, что в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций.

§2. Задача Коши

Будем рассматривать случай, когда искомая функция зависит от двух переменных . Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид

(2.1)

Всякое решение уравнения (2.1) будем называть интегральной поверхностью (график решения – поверхность в пространстве с координатами ).

Для того, чтобы из совокупности всех решений уравнений (2.1) выделить некоторое частное решение, формулируется задача Коши: найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условию

где - некоторая заданная функция.

Обозначим через кривую в пространстве , задаваемую уравнениями

(2.2)

Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди всех интегральных поверхностей найти ту, которая проходит через заданную кривую .

Можно поставить более общую задачу Коши, не ограничивая кривую видом (2.2), а беря произвольную пространственную кривую. Если обозначить через проекцию кривой на плоскость , то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условию

§3. Линейные однородные уравнений первого порядка

Уравнение с частными производными называются линейными, если искомая функция и ее частные производные входят в уравнение линейно. Таким образом, линейное уравнение первого порядка имеет вид

, (3.1)

где и - заданные функции. Если , то уравнение называется однородным.

Отметим, что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Так, например, линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения. Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида

(3.2)

Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.3)

которую будем называть характеристической системой для уравнения (3.2), а всякое решение этой системы назовем характеристикой.

Функция , не сводящаяся тождественно к постоянной, или равенство называется первым интегралом системы (3.3), если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина, зависящая лишь от выбора решения.

Теорема 3.1. Пусть есть первый интеграл системы (3.3). Тогда функция удовлетворяет уравнению (3.2).

Теорема 3.2. Пусть функция удовлетворяет уравнению (3.2). Тогда есть первый интеграл системы (3.3).

Поиск по сайту: