При введенных обозначениях уравнение (1) можно записать

L_n[y]=f(x) (a<x<b) (1^/)

Если f(x)=0, то уравнение L_n[y]=0 (a<x<b) (3) – называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Если f(x)¹0, то уравнение L_n[y]=f(x) (a<x<b) – называется линейное неоднородное дифференциальное уравнением n-го порядка.

Теорема1. Если функции f(x), p₀(x),…p_n-1(x) непрерывны на интервале (a,b), то дифференциальное уравнение (1) имеет единственное определенное на том же интервале (a,b) решение, удовлетворяющее начальным условиям

y(x₀)=y₀, y^/(x₀)=y^/₀,….,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1)

Теорема 2. Если у₁, …, у_m являются решениями однородного уравнения (3), то их линейная комбинация тоже является решением уравнения (3). (справедливость теории следует из равенства (2)).

Определение. Функции у₁(х), … у_m(х) называются линейно независимыми на (a,b), если знают числа a₁,…,a_m, из которых хотя бы одно не равно нулю, что их линейная комбинация

(а<х<b) (4)

Если тождество (4) выписывается лишь в случае, когда все , то функциям у₁,….у_m называются линейно независимы на (a,b).

Определение. Система из n линейно независимых на (a,b) решений y₁(x),y₂(x),…..y_n(x) однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3) с непрерывным на (a,b) коэффициентами р_j(х) называется фундаментом системы решение (ФРС) этого уравнения.

Чтобы решить множество однородных дифференциальных уравнений n-го порядка (3) с непрерывными коэффициентами р_j(х), надо найти его ФРС, то есть общее решение уравнения (3) имеет вид

(5),

где С_к – произведение постоянных, у_к(х) – частное решение (3), образующее ФРС.

Отметим также, что общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения z(x) и общего решения однородного уравнения:

Решить вопрос о линейной зависимости найденных частных решений уравнения помогают следующие теоремы.

Теорема Если функции y₁(x),…..y_m(x) линейно независимы на (a,b) и имеют производные до (m-1)- го порядка, то определитель

(7)

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначает W(x)=W[y₁,…y_m].

Теорема. Для того чтобы решения y₁(x),…..y_n(x) линейно дифференциального однородного уравнения Ln[y]=0 с непрерывными коэффициентами были линейно независимы на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы вронскиан W[y₁,….,y_n]¹0 для всех xÎ(a,b).

Пример. Показать, что функции и линейно независимы, тогда

Если в уравнении (3) p_n-1(x)…p₀(x) есть некоторые постоянные числа p_n-1,…..p₀ то уравнение (3) называется линейно однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Все результаты полученные для уравнений 2-го порядка можно обобщить.

Таким образом, для решения однородного уравнения n-го порядка составляем характеристическое уравнение.

(8) kⁿ+p_n-1^n-1+…+p₁k+p₀=0 и находим его корни.

1⁰. Если корни уравнения (8) k₁,….k_n различны, то n функций e^k1x, e^k2x,….,e^knx (9) является решениями уравнения (3) и притом линейно независимы на , то есть образует ФРС. Поэтому общее решение имеет вид:

(10),

где C_j – произведение постоянных.

2⁰. Если k₁ – корень кратности m, то в системе (9) возникает m равных функций e^k1x, e^k2x,….,e^kmx(k₁=…=k_m) и система (9) перестает бить линейно независимой. В этом случае функции e^k1x, e^k2x,….,х^m-1 e^k1x тоже будут решениями уравнения (3), образующими линейно независимыми на любом интервале (a,b) систему.

Замечание. Пункты 1⁰ и 2⁰ остаются верны и в случае если корней есть комплексные. Однако, на практике, в этом случае общему решению стараются придать более удобный вид, содержащий только функции действительные переменного.

3⁰. Если среди корней характерного уравнения k₁,….,k_n корень k_j – комплексный, то среди искомых корней должны быть сопряженный ему корень k_g=a-bi(g¹j).

Можно показать, что в этом случае функции e^axcosbx и e^axsinbx (11) тоже есть решение уравнения (3).

Часто в системе (9) функции e^(a+bi)x и e^(a-b)x заменяют на функции (11).

Можно доказать, что таким образом видоизмененная система (3) линейно независима на .

4⁰. Если k₁=a+bi – комплексный корень кратности m, который составляет решение e^k1x, e^k2x,….,х^m-1 e^k1x (12), то и - корень кратности m, которому соответствует решения (13).

Система решений (12) и (13) на практике чаще заменяют линейно независимыми функциями

Примеры.

При решении линейных неоднородных уравнений n-го порядка, как уже отмечалось, пользуемся теоремой о структуре общего решения. Согласно этой теореме остается отыскать какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Его можно искать с помощью метода неопределенных коэффициентов, пользуясь таблицей (см. таблицу).

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать Теорему наложения решений. Частное решение уравнения L_n[y]=f₁(x)+f₂(x) равно сумме частных решений уравнений L_n[y]=f₁(x0) и L_n[y]=f₂(x), то есть z=z₁+z₂

Пример. y ^//-2y^/+y=x²+e^x

Тогда z=x²+4x+6+ x²e^x

y=(C₁+C₂x)e^x+x²+4x+6+ x²e^x

Замечание. Метод неопределенных коэффициентов при определении частного решения линейно неоднородного уравнения применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет специальный вид. Более общим методом отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n- го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если уравнения являются метод вариации произвольных постоянных.

Поиск по сайту: