Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лекция 19. Дифференциальные уравнения первого порядка

План лекции

19.1. Задачи, приводящие к дифференциации уравнениям.

19.2. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

19.3. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

19.4. Однородные уравнения.

19.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

19.6. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

19.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

19.1

В различных областях науки и техники весьма часто выражаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задание 1. на плоскости ХОУ найти кривую, проходящую через О(0;0), у которой угловой коэффициент касательной, проведен к любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Пусть у = f(x) – уравнение искомой кривой. По условию известно, что в каждой точке M(x;f(x)) есть касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, то есть f^/(x) равняется 2х. Найти уравнение кривой.

Таким образом, имеем (1).

Из (1) следует, что y = f(x) есть первообразная для 2х. Следовательно, (2).

Из (2) следует, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, то есть уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество парабол. Чтобы из этого множества кривых выбрать нужную кривую, надо воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку О(0;0). Следовательно, координаты О должны удовлетворять (2). Поэтому О = О + С, то есть С = О. Значит, искомая кривая будет .

Задание 2. Найти закон уравнения свободного падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .

Решение.

(3) следовательно, S – первообразная для gt, следовательно . Имеем . следовательно , то , то есть .

Задание 3. Пусть тело имеющее температуру Q₀ в момент времени t=0, помещено в среду температуры Q(Q₀>Q). Требуется найти закон, по которому изменяется температура тела в зависимости от времени. Искомая температура есть функция от времени, которую обозначают через Q(t).

Из функции известно, что скорость движения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция Q(t) убывает, в силу максимального смысла произведения получаем , где k – коэффициент пропорциональности. , .

Заметим, что уравнение (4) при Q=0 так же записывает радиоактивный распад.

В рассмотренных задачах мы приходим к дифференциации уравнения вида . Это уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются гораздо более общими и сложными дифференциальными уравнениями.

19.2.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y.y^/,…y⁽ⁿ⁾) = 0 (1).

Причем F(x,y.y^/,…y⁽ⁿ⁾) может не зависеть от некоторых величин x,y.y^/,… Но если это уравнение n -го порядка, то от y⁽ⁿ⁾ обязательно зависит.

Например, у^/ + ху = 0, у^//+2у^/ = 1,

1-го порядка 2-го порядка 1-го порядка.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество, называется решением этого уравнения.

График решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка будем называть интегральной кривой этого уравнения.

Например, является ли функция y = 1+2e^-4x решением дифференциального уравнения а) , б) . Найдем у^/ и у^// и подставим у, у^/, у^// в данные уравнения:

,

а) б)

0 = 0 – верно - ложно.

Следовательно, данная функция решения дифференциального уравнения а) не является решением дифференциального уравнения б).

Дифференциальное уравнение первого порядка называется соотношение вида F(x,y,y^/) = 0 (2) - в полном виде.

Относительно y^/: - в явном или естественном его можно разрешить. (2^/).

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , зависящая от переменой x и от произвольной постоянной C, обращающая уравнение (2) в верное равенство.

Иногда решение уравнения может быть получено и неявной форме: Ф(х,у,с) = 0 или Ф(х,у) = С.

Решить данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение в той или иной форме.

Решение, которое получается из общего решения при котором фиксированном значение произвольной постоянной C, называется частным решением.

Частное решение выделяется из общего с помощью так называемого начального условия.

Условие, что при х = х₀ функция у должна равняться заданному числу у ₀ называется начальным условием.

Пример. По общему решению дифференциального уравнения у = сх² + х²sinx. Найти частное решение удовлетворяющее начальному условию

Тогда частное решение имеет вид: .

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка F(x,y,…y^/) = 0⁽¹⁾ называется функция , зависящая от n произвольных постоянных и образующая уравнение (1) в тождество.

Решение, получаемое из общего при закреплении постоянных С₁, С₂,,….С_n называются частными.

Пусть при заданном значении х = х₀ функция у и ее первые (n-1) производная принимают значения: . Эти условия называются начальными. С их помощью можно выделить из общего решения единственное частное решения.

Пример. По общему решению дифференциального уравнения . Найти частное отвечающее условию (так как в общем решении 2 постоянных, то это решение дифференциального уравнения 2-го порядка).

, ,

, ,

- частное решение.

Остановимся далее на отдельных видах дифференциальных уравнений и методах их решения.

19.3.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

Перепишем его в виде или (2).

Этому уравнению можно придать форму:

(3).

Эта форма удобна тем, что здесь х и у равноправны, то есть каждую из них можно рассматривать, как функцию другой. Предположим, что функции и можно представить в виде произведения функций, зависящих от одной переменной:

.

Тогда получим (4).

Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Разделим почленно на :

(5).

Это уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Перепишем (5) в виде:

и проинтегрируем его:

.

Найдя эти интегралы, мы и получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.

Примечание. В общем случае, деля на произведение , мы рискуем потерять те решения уравнения (4), которые обращают это произведение в нуль. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция , где b – корень уравнения , есть решение уравнения (4). Аналогично, функция , где Q – корень уравнения , также является решением уравнения (4). Подобные решения называются особенными.

Примеры. Найти общие решения уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) Найти частное решение д/у

отвечающее начальному условию

при

- частное решение.

19.4.

Функция называется однородной измерения m, если .

Пример. - однородная измерения 2.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Уравнение (1)

Называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции и являются однородными функциями одного и того же измерения.

С помощью подстановки , где z – новая искомая функция от x уравнение (1) легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Заметим, что . Иногда целесообразно использовать подстановку .

Примеры.

Преобразуем (1)

то есть , где f – некоторая функция от одного переменного. Введем вместо у новую функцию z(х) при помощи подстановки , , тогда или - уравнение с разделенными переменами.

19.5.

Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой , где - точка пересечения прямых и .

Если , то подстановка позволяет разделить переменные.

Пример 1.

подставим

.

,

- однородное.

Пример 2.

Получим

19.6.

Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение вида

,

где , - непрерывно дифференцируемые функции на .

Решение ищем в виде , где . Тогда . Подставляем в данное уравнение

.

Далее группируем .

Решение сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными: , .

Уравнение Бернулли

, где . (1)

Если n = 0 или n = 1 – линейное дифференциальное уравнение (n = 1 – с разделяющей переменой)

Пусть .

Его можно преобразовать в линейное с помощью подстановки

, тогда

Пример.

.

Замена , показать, что сводится к линейному.

Замечание. При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо предварительно преобразовывать в линейные, а сразу применять либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольных постоянных.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произведения постоянных, то есть полагая , где - некоторая подлежащая определению, дифференцируемая функция. Для нахождения нужно подставить y в искомое уравнение, что приводит к уравнению

.

, откуда и находим

.

Тогда искомое общее решение множества неоднородного уравнения имеет вид

.

19.7.

Дифференциальное уравнение , где , называется уравнением в полных дифференциалах, то есть левая часть такого уравнения есть полный дифференциал и (в односвязной области). Перепишем уравнение в виде , тогда общее решение определяется равенством . Функция может быть найдена по формуле , где х₀ и у₀ – произвольные, лишь бы интегралы имели смысл.

Пример.

, то есть .

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , то есть .

Проинтегрируем по х:

.

Найдем функцию , продифференцировав последнее выражение по у: , тогда .

Тогда , то есть . Таким образом, общее решение

или .

Если условие не выполняется, то в некоторых случаях можно привести рассматриваемое уравнение к указанному типу умножением на некоторый множитель, который является функцией от х и у: .

Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от х, то он находится по формуле

, где - функция от х.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от у, определяется по формуле:

, где - функция от у.

Пример.

.

Показать, что , поэтому данное уравнение им интегрирующий множитель, зависящий только от х: .

Умножая на , получаем уравнение

.

(убедиться, что уравнение в полных дифференциация)

Лекция 20. Множество комплексных чисел

План лекции

20.1. Определение множества комплексных чисел.

20.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме.

20.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Геометрическая интерпретация модуля и аргументы комплексного числа.

20.4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

20.5. Показательная форма записи комплексного числа.

20.1

На множестве действительных чисел не выполняется операция извлечения корня четной степени из отрицательного действительного числа.

Поставим задачу расширить множество R таким образом, чтобы существовал для и а < 0, то есть двухчленное уравнение в новом множестве должно всегда иметь решение. Более того, в новом множестве любое уравнение n -ой степени с действительными коэффициентами должно иметь ровно n корней, учитывая их краткость.

Для решения поставленной задачи достаточно потребовать, чтобы в новом множестве существовал и имел хотя бы одно значение .

Системой комплексных чисел называется минимальное поле С, обладающее свойствами:

1⁰. ;

2⁰. Существует элемент , обладающий свойством .

Комплексным числом Z называется пара действительных чисел , взятых в определенном порядке. Если , то число изображается в виде точки, лежащей на оси абсцисс. Так как между множеством R и точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие, то будем считать, что число - действительное, а ось абсцисс – действительная ось. Введем операции сложения и умножения комплексных чисел таким образом, чтобы эти операции совпадали с операциями над действительными числами.

Пусть даны два комплексных числа и .

Суммой двух комплексных чисел и называется число , определяемое равенством:

. (5.1)

Произведением двух комплексных чисел и называется число , определяемое равенством:

. (5.2)

Введенные операции не приводят к противоречию с арифметикой действительных чисел:

,

.

Обозначим . Тогда

.

Числа вида будем называть чисто мнимыми, а ось ординат – мнимой осью.

Пользуясь введенными определениями (5.1) и (5.2), нетрудно показать, что - поле (проверить самостоятельно).

Всякое комплексное число может быть представлено в виде действительного числа и чисто мнимого числа :

.

Существуют различные формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Рассмотрим эти формы.

20.2

Алгебраической формой записи комплексного числа называется его представление в виде

, (5.3)

где , , - действительная часть, - мнимая часть, - коэффициент при мнимой части, - мнимая единица.

Сопряженным числом числу (5.3) называется комплексное число .

Два комплексных числа и равны, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, то есть , .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующими правилами:

1. .

2. .

3. ,

в частности, .

4. ,

где , то есть .

С геометрической точки зрения комплексное число в алгебраической форме можно интерпретировать как точку координатной плоскости.

Можно сказать, что с комплексными числами можно оперировать так же, как с двучленами в алгебре, но при этом операции упрощаются тем, что .

Пример 1. Вычислить в алгебраической форме:

.

Решение.

Вычисления проведем по действиям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответ: .

Возводить в целую степень n (при больших n) и извлекать корень из комплексного числа в алгебраической форме неудобно. Для облегчения выполнения этих операций и вводится тригонометрическая форма записи комплексного числа.

20.3

С геометрической точки зрения комплексные числа интерпретируются как точки плоскости, причем каждому комплексному числу на плоскости соответствует единственная точка и, обратно, каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число. При этом каждое комплексное число можно также интерпретировать и как радиус-вектор точки , то есть (рис.5.1).

z

Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Модулем комплексного числа называется длина радиус-вектора, изображающего комплексное число. Модуль комплексного числа определяется по формуле . Очевидно, .

Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси и радиус-вектором точки . Аргумент комплексного числа определяется из соотношений:

.

Так как и - периодические функции, то аргумент определяется неоднозначно, а именно, если , то . Поэтому рассматривают главные значения аргумента: < .

Тригонометрической формой записи комплексного числа называется его представление в виде

, (5.4)

где – модуль комплексного числа, , – аргумент комплексного числа, < .

20.4

В тригонометрической форме над комплексными числами удобно выполнять действия умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.

Пусть даны два числа и .

Тогда

1. , (5.5)

то есть при перемножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число сомножителей.

2. , (5.6)

то есть при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, легко показать, что при возведении комплексного числа в любую целую степень n имеет место формула

, (5.7)

называемая формулой Муавра.

4. Корень n -ной степени из комплексного числа имеет ровно n значений, которые получаются по формуле

, где . (5.8)

Особенно важен случай извлечения корня n -ой степени из числа 1. Этот корень имеет n значений:

, .

Все значения корня n -ой степени из комплексного числа можно получить, умножая одно из значений этого корня на все корни n -ой степени из единицы.

С геометрической точки зрения все корни из комплексного числа расположены на окружности с центром в начале координат и радиусом , причем эти корни делят эту окружность на n равных частей.

Пример 2. Найти все корни уравнения

.

Решение.

Выразим из уравнения: .

Для нахождения всех корней уравнения переведем все числа в тригонометрическую форму и проведем вычисления.

Пусть , . Тогда , ,

, , получаем

, .

Таким образом, , .

Далее ,

Наконец,

где

Ответ: , , .

20.5

Показательной формой записи комплексного числа называется его представление в виде

, (5.9)

где – модуль, – аргумент комплексного числа.

Пусть , . Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам:

1. ;

2. ;

3. , ;

4. , где , ,

Лекция 21. Дифференциальные уравнения второго порядка и более высоких порядков.

План лекции

21.1. Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.

21.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

21.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

21.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

21.1.

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F(x,y,y^/,y^//,…..y⁽ⁿ⁾)=0.

Решением такого уравнения служит всякая n раз дифференцируемая функция y=j(x), которая обращает данное уравнение в тождество, то есть

F(x,j(x), j^/(x),j^//(x),…..,j⁽ⁿ⁾(x))º0.

Понятие общего и частного решения были введены выше.

В некоторых случаях удается понизить порядок дифференциации уравнения.

Поиск по сайту: