 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Случаи понижения порядка дифференциального уравнения
1) Уравнение 
. Решение этого уравнения находится n – кратным интегрированием
.
Пример. 
. 
.
2) Дифференциальное уравнение F(x,y(k), y(k+1),…..,y(n))=0, не содержащее искомой функции.
Порядок такого уравнения можно понизить, если за новую неизвестную взять низшую из производных данного уравнения:
.
Пример.
, 
,
.
3) F(x,y/,…..,y(n))=0 не содержащее независимой переменой допускает понижение на единицу с помощью подстановки.
где за новую независимую переменную выбираем у (поэтому 
, 
.
Пример.
(1+y/2=yy//), y//(2y+3)-2y/2=0.
y/2+2yy//=0
y/=z(y), /
z2+2yzz/y=0
z(z+2yz/y)=0
z=0, z+2yz/y=0
, 
y=const.
4) Уравнение вида F(x,y/,…..,y(n))=0 однородное относительно x,y/,…..,y(n) допускает понижение на 1 при замене 
, то есть F(x,ty,ty/,…..,ty(n))=tmF(x,y,y/,…..,y(n)).
Пример.
3y/2 = 4yy// + y,2, разделим на y2
, , тогда 
или 
; 
, тогда получим
3z2-4z2-4z/=1
или –4z/=1+z2, то есть
…
21.2.
Уравнение
y//+py/+qy=f(x) (1),
где p = p(x), q=q(x) и f(x) – непрерывные функции в интервале (a,b) называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, p,q – его коэффициенты.
Если f(x) = 0, то уравнение будет иметь вид
y//+qy/+qy =0 (2)
– называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если уравнение (2) имеет те же коэффициенты, как (1), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1).
Функции у1 и у2 называются линейно независимыми в интервале (a,b), если 
только при условии, что 
.
Справедлива следующая
Теорема. Если у1 и у2 – линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка (2), то общее решение этого уравнения имеет вид:
y=C1y1+C2y2, где С1 и С2 - произвольные постоянные.
Ограничимся рассмотрением однородных уравнений с постоянными коэффициентами, то есть уравнениями вида:
у//+ру/+qу=0 (3), где р и q – постоянные действительные числа.
Будем искать частное решение уравнения (3) в виде 
(4), где 
– действительное или комплексное число, подлежащее определению:
Найдем 
(5)
Подставляя (4) и (5) в (3) имеем:
или
.
Так как 
, то отсюда
(6) – характеристическое уравнение однородного уравнения (3).
Уравнение (6) – квадратное поэтому имеет два корня. Обозначим их k 1 и k2. Возможны три случая:
1 случай. k1, k2ÎR и k 1 ¹ k2, тогда имеем два частных решения 
и 
. Они линейно независимы.
Тогда общее решение уравнения (3): 
.
Пример.
y//-5y/+6y=0.
y2-5y+6=0.
y1=2, y2=3
y=C1e2x+C2e3x
2 случай. 
. Тогда имеем одно частное решение уравнения (3). 
. Частным решением будет также функция 
. Действительно: 
, 
.
Подставим в (3):
так как 
.
Можно показать, что функции и - линейно независимы. Поэтому общее решение уравнения (3) имеет вид
y=C1ekx+C2xekx
Пример.
y//+6y/+9y=0
k2+6k+9=0
(k+3)2=0
k1=k2=-3
y=C1e-3x+C2xe-3x
3 случай. Корни 
и 
- комплексные.
Можно показать, что общее решение уравнения (3) в этом случае есть
.
Пример.
| Корни характерного уравнения | Общее решение дифференциального уравнения. |
| k1¹k2ÎR k1=k2=k ÎR k1=a+bi, k2=a-bi | 
y=C1ekx+C2xekx
y=eax(C1cosbx+C2sinbx)
|
21.3.
Рассмотрим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
(1) y//+py/+qy=f(x), где p,qÎR, f(x) – непрерывная функция в интервале (a,b).
Справедлива теорема.
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (y//+py/+qy=0) и любого частного решения данного неоднородного уравнения:
– общее решение соответствующего однородного уравнения, z – частное решение неоднородного уравнения.
Вид частного решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения. Рассмотрим некоторые частные случаи.
| f(x) | Особенности характерного уравнения k2+pk+q=0 | Вид частного решения |
| Pn(x) | q¹0 | z=Pn(x), Pn(x) – с неопределенным коэффициентом |
| q=0,p¹0 | z=xPn(x) | |
| p=0, q=0 | z=x2Pn(x) | |
| aebx | b¹k1, b¹k2 | z=Aebx |
| b=k1, b¹k2 | z=Axebx | |
| b=k1=k2 | z=Ax2ebx | |
| acoswx+bsinwx | p¹0, q¹w2 | z=Acoswx+Bsinwx |
| p=0, q=w2 | z=x(Acoswx+Bsinwx) |
Примеры. Найти общие решения дифференциального уравнений.
1) y//-9y=2-x
y//-9y=0
k2-9=0
k1=3 k2=-3
y- =C1e3x+C2e-3x
q=-9¹0
z=A1x+A0
z/=A1
z//=0
0-9(A1x+A0)=2-x
-9A1x-9A0=-x+2
2) y//-y/=4+x
k2-k=0
k1=0, k2=1
y-=C1+C2x
q=0
z=x(A1x+A0)=A1x2+A0x
z/=2A1x+A0
z//=2A1
2A1-2A1x-A0=4+x
3) y//=x-3
k2=0
k1=k2=0
y-=C1+C2x
z=(A1x+A0)x2=A1x3+A0x2
z/=3A1x2+2A0x
z//=6A1x+2A0
6A1x+2A0=x-3
4) y//-2y/-3y=x2
k2-2k-3=0
k1=3 k2=-1
y-=C1e3x+C2e-x
z=A2x2+A1x+A0
z/=2A2x+A1
z//=2A2
2A2-4A2x-2A1-3A2x2-3A1x-3A0=x2
5) y//+y/=e-x
k2+k=0
k1=0 k2=0
y-=C1+C2e-x, b=-1=k2
z=Axe-x
z/=Ae-x-Axe-x
z//=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x
-2Ae-x+Axe-x+Ae-x-Axe-x=e-x
-Ae-x=e-x
-A=1
A=-1
Z=-xe-x
y=C1+C2e-x-xe-x
6) y//-by/+9y=e3x
k2-6k+9=0
k1=k2=3=b
y-=C1e3x+C2xe3x
z=Ax2e3x
z/ = 9Axe3x+3Ax2e3x=e3x(2Ax+3Ax2)
z//=3(2Ax+3Ax2)e3x+(2A+6Ax)e3x=e3x(12Ax+9Ax2+2A)
(9Ax2+12Ax+2A)e3x-6e3x(2Ax+3Ax2)+9Ax2e3x=e3x
9Ax2+12Ax+2A-12Ax-18Ax2+9Ax2=1
2A=1
7) y//+6y=e2x
k2+6=0
4Ae2x+6Ae2x=e2x
10Ae2x=e2x
10A=1
A= 
, 
8) y//+100y=sin2x
k2+100=0
k1=-10i, k2=10i
y-=C1cos10x+C2sin10x
p=0, q=100, w=2, q¹w2
z=Acos2x+Bsin2x
z/=-2Asin2x +2Bcos2x
z//=-4Acos2x-4Bsin2x
-4Acos2x-4Bsin2x+100Acos2x+100Bsin2x=sin2x
96Acos2x+96Bsin2x=sin2x
9) y//+4y=2cos2x+sin2x
k2+4=0
k1=2i k2=-2i
y-=C1cos2x+C2sin2x
p=0, q=4, w=2, q=w
z=x(A cos2x+Bsin2x)
z/=Acos2x+Bsin2x+x(-2Asin2x+2Bcos2x)
z//=-2Asin2x+2Bcos2x+(-2Asin2x+2Bcos2x)+x(-4Acos2x-4Bsin2x)=
=-4Asin2x+4Bcos2x+x(-4Acos2x-4Bsin2x)=-4Asin2x+4Bcos2x+x(-4Acos2x-4Bsin2x)+4x(Acos2x+Bsin2x)=2cos2x+sin2x
-4Asin2x+4Bcos2x=2cosx+sin2x
21.4
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
y(n)+pn-1(x)y(n-1)+…+p1(x)y/+p0(x)y=f(x) (1)
(a<x<b)
где f(x), p0(x),…pn-1(x) – заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.
Обозначим левую часть (1) Ln[y]=L[y] ее называют линейным дифференциальным оператором n – го порядка.
Оператор L[y] обладает следующими свойствами:
1) L[Сy]=СL[y] – однородность оператора;
2) L[y1+у2]=L[y1]+L[y2] – аддитивность оператора.
Однородный и аддитивный оператор называется линейным.
Пример.
Пусть L[y]=у//+у, тогда L[sinx]=-sinx+sinx=0
L[x2]=2+x2
Поиск по сайту: