АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Случаи понижения порядка дифференциального уравнения

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  4. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  5. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  6. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. А. Блага высшего порядка в своем характере благ обусловлены наличием в нашем распоряжении соответственных комплементарных благ.
  11. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  12. Анализ порядка определения и формирования цены ДР.

1) Уравнение . Решение этого уравнения находится n – кратным интегрированием

.

Пример. . .

2) Дифференциальное уравнение F(x,y(k), y(k+1),…..,y(n))=0, не содержащее искомой функции.

Порядок такого уравнения можно понизить, если за новую неизвестную взять низшую из производных данного уравнения:

.

Пример.

, ,

.

3) F(x,y/,…..,y(n))=0 не содержащее независимой переменой допускает понижение на единицу с помощью подстановки.

где за новую независимую переменную выбираем у (поэтому , .

Пример.

(1+y/2=yy//), y//(2y+3)-2y/2=0.

y/2+2yy//=0

y/=z(y), /

z2+2yzz/y=0

z(z+2yz/y)=0

z=0, z+2yz/y=0

, y=const.

4) Уравнение вида F(x,y/,…..,y(n))=0 однородное относительно x,y/,…..,y(n) допускает понижение на 1 при замене , то есть F(x,ty,ty/,…..,ty(n))=tmF(x,y,y/,…..,y(n)).

Пример.

3y/2 = 4yy// + y,2, разделим на y2

, , тогда

или ; , тогда получим

3z2-4z2-4z/=1

или –4z/=1+z2, то есть

 

21.2.

Уравнение

y//+py/+qy=f(x) (1),

где p = p(x), q=q(x) и f(x) – непрерывные функции в интервале (a,b) называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, p,q – его коэффициенты.

Если f(x) = 0, то уравнение будет иметь вид

y//+qy/+qy =0 (2)

– называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если уравнение (2) имеет те же коэффициенты, как (1), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1).

Функции у1 и у2 называются линейно независимыми в интервале (a,b), если только при условии, что .

 

Справедлива следующая

Теорема. Если у1 и у2 линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка (2), то общее решение этого уравнения имеет вид:

y=C1y1+C2y2, где С1 и С2 - произвольные постоянные.

 

Ограничимся рассмотрением однородных уравнений с постоянными коэффициентами, то есть уравнениями вида:

у//+ру/+qу=0 (3), где р и q – постоянные действительные числа.

Будем искать частное решение уравнения (3) в виде (4), где – действительное или комплексное число, подлежащее определению:

Найдем (5)

Подставляя (4) и (5) в (3) имеем:

или

.

Так как , то отсюда

(6) – характеристическое уравнение однородного уравнения (3).

Уравнение (6) – квадратное поэтому имеет два корня. Обозначим их k 1 и k2. Возможны три случая:

1 случай. k1, k2ÎR и k 1 ¹ k2, тогда имеем два частных решения и . Они линейно независимы.

Тогда общее решение уравнения (3): .

Пример.

y//-5y/+6y=0.

y2-5y+6=0.

y1=2, y2=3

y=C1e2x+C2e3x

2 случай. . Тогда имеем одно частное решение уравнения (3). . Частным решением будет также функция . Действительно: , .

Подставим в (3):

так как .

Можно показать, что функции и - линейно независимы. Поэтому общее решение уравнения (3) имеет вид

y=C1ekx+C2xekx

Пример.

y//+6y/+9y=0

k2+6k+9=0

(k+3)2=0

k1=k2=-3

y=C1e-3x+C2xe-3x

3 случай. Корни и - комплексные.

Можно показать, что общее решение уравнения (3) в этом случае есть

.

Пример.

Корни характерного уравнения Общее решение дифференциального уравнения.
k1¹k2ÎR k1=k2=k ÎR k1=a+bi, k2=a-bi y=C1ekx+C2xekx y=eax(C1cosbx+C2sinbx)

21.3.

Рассмотрим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

(1) y//+py/+qy=f(x), где p,qÎR, f(x) – непрерывная функция в интервале (a,b).

Справедлива теорема.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (y//+py/+qy=0) и любого частного решения данного неоднородного уравнения:

общее решение соответствующего однородного уравнения, z – частное решение неоднородного уравнения.

 

 

Вид частного решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения. Рассмотрим некоторые частные случаи.

 

f(x) Особенности характерного уравнения k2+pk+q=0 Вид частного решения
Pn(x) q¹0 z=Pn(x), Pn(x) – с неопределенным коэффициентом
q=0,p¹0 z=xPn(x)
p=0, q=0 z=x2Pn(x)
aebx b¹k1, b¹k2 z=Aebx
b=k1, b¹k2 z=Axebx
b=k1=k2 z=Ax2ebx
acoswx+bsinwx p¹0, q¹w2 z=Acoswx+Bsinwx
p=0, q=w2 z=x(Acoswx+Bsinwx)

 

Примеры. Найти общие решения дифференциального уравнений.

1) y//-9y=2-x

y//-9y=0

k2-9=0

k1=3 k2=-3

y- =C1e3x+C2e-3x

q=-9¹0

z=A1x+A0

z/=A1

z//=0

0-9(A1x+A0)=2-x

-9A1x-9A0=-x+2

2) y//-y/=4+x

k2-k=0

k1=0, k2=1

y-=C1+C2x

q=0

z=x(A1x+A0)=A1x2+A0x

z/=2A1x+A0

z//=2A1

2A1-2A1x-A0=4+x

3) y//=x-3

k2=0

k1=k2=0

y-=C1+C2x

z=(A1x+A0)x2=A1x3+A0x2

z/=3A1x2+2A0x

z//=6A1x+2A0

6A1x+2A0=x-3

4) y//-2y/-3y=x2

k2-2k-3=0

k1=3 k2=-1

y-=C1e3x+C2e-x

z=A2x2+A1x+A0

z/=2A2x+A1

z//=2A2

2A2-4A2x-2A1-3A2x2-3A1x-3A0=x2

5) y//+y/=e-x

k2+k=0

k1=0 k2=0

y-=C1+C2e-x, b=-1=k2

z=Axe-x

z/=Ae-x-Axe-x

z//=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x

-2Ae-x+Axe-x+Ae-x-Axe-x=e-x

-Ae-x=e-x

-A=1

A=-1

Z=-xe-x

y=C1+C2e-x-xe-x

6) y//-by/+9y=e3x

k2-6k+9=0

k1=k2=3=b

y-=C1e3x+C2xe3x

z=Ax2e3x

z/ = 9Axe3x+3Ax2e3x=e3x(2Ax+3Ax2)

z//=3(2Ax+3Ax2)e3x+(2A+6Ax)e3x=e3x(12Ax+9Ax2+2A)

(9Ax2+12Ax+2A)e3x-6e3x(2Ax+3Ax2)+9Ax2e3x=e3x

9Ax2+12Ax+2A-12Ax-18Ax2+9Ax2=1

2A=1

7) y//+6y=e2x

k2+6=0

4Ae2x+6Ae2x=e2x

10Ae2x=e2x

10A=1

A= ,

8) y//+100y=sin2x

k2+100=0

k1=-10i, k2=10i

y-=C1cos10x+C2sin10x

p=0, q=100, w=2, q¹w2

z=Acos2x+Bsin2x

z/=-2Asin2x +2Bcos2x

z//=-4Acos2x-4Bsin2x

-4Acos2x-4Bsin2x+100Acos2x+100Bsin2x=sin2x

96Acos2x+96Bsin2x=sin2x

9) y//+4y=2cos2x+sin2x

k2+4=0

k1=2i k2=-2i

y-=C1cos2x+C2sin2x

p=0, q=4, w=2, q=w

z=x(A cos2x+Bsin2x)

z/=Acos2x+Bsin2x+x(-2Asin2x+2Bcos2x)

z//=-2Asin2x+2Bcos2x+(-2Asin2x+2Bcos2x)+x(-4Acos2x-4Bsin2x)=

=-4Asin2x+4Bcos2x+x(-4Acos2x-4Bsin2x)=-4Asin2x+4Bcos2x+x(-4Acos2x-4Bsin2x)+4x(Acos2x+Bsin2x)=2cos2x+sin2x

-4Asin2x+4Bcos2x=2cosx+sin2x

21.4

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

y(n)+pn-1(x)y(n-1)+…+p1(x)y/+p0(x)y=f(x) (1)

(a<x<b)

где f(x), p0(x),…pn-1(x) – заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.

Обозначим левую часть (1) Ln[y]=L[y] ее называют линейным дифференциальным оператором n – го порядка.

Оператор L[y] обладает следующими свойствами:

1) L[Сy]=СL[y] – однородность оператора;

2) L[y12]=L[y1]+L[y2] – аддитивность оператора.

Однородный и аддитивный оператор называется линейным.

Пример.

Пусть L[y]=у//+у, тогда L[sinx]=-sinx+sinx=0

L[x2]=2+x2


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.029 сек.)