Общие задачи оптимизации

Классификация методов оптимизации

Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом)^[1].

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

§ Локальные методы: сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом/минимумом.

§ Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

1. детерминированные;

2. случайные (стохастические);

3. комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методымногомерной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

§ Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

§ В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

§ если и — выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;

§ если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

По требованиям к гладкости и наличию у целевой функции частных производных, их также можно разделить на:

§ прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;

§ методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;

§ методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

§ аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);

§ численные методы;

§ графические методы.

В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:

§ задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) — если X конечно или счётно;

§ задачи целочисленного программирования — если X является подмножеством множества целых чисел;

§ задачей нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X являетсяподмножеством конечномерного векторного пространства.

§ Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это — задача линейного программирования.

Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование. Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:

§ Определение границ системы оптимизации

§ Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается

§ Выбор управляемых переменных

§ «Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные)

§ Определение ограничений на управляемые переменные

§ … (равенства и/или неравенства)

§ Выбор числового критерия оптимизации (например, показателя эффективности)

§ Создаём целевую функцию

Линейное программирование

·

·

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [linear programming] — область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостьюмежду переменными.

В самом общем виде задачу Л. п. можно записать так. Даны ограничения типа

или в т. н. канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая:

Требуется найти неотрицательные числа x_j (j = 1, 2,..., n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму

Неотрицательность искомых чисел записывается так: x_j ≥ 0.

Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с оговорками: как ограничения, так и целевая функция линейные, а искомые переменные неотрицательные. Обозначения можно трактовать следующим образом: b_i — количество ресурса вида _i; m — количество видов этих ресурсов; a_ij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; x_j — количество продукциивида j, причем количество таких видов — n; c_j — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m₁, от m₁ + 1 до m₂ и от m₂ + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — “не больше”, во втором — “столько же”, в третьем — “не меньше”; Z — в случае максимизации, напр., объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т. п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже: v_i — оптимальная оценка i-го ресурса.

Слово “программирование” объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово “линейное” отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отысканииэкстремума (максимума или минимума) целевой функции.

Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л. п., оказываются весьма несовершенными.

Поиск по сайту: