Методы оптимизации. 1. Классические методы оптимизации

1. Классические методы оптимизации

2. Численные методы оптимизации функции одной переменной

Лекция прочитана 17.04

Классические методы оптимизации

Функция дважды дифференцируема в точке и в некоторой ее окрестности.

Если для всех точек х этой окрестности или , то функция имеет экстремум в точке . Точка , в которой все частные производные функции равны нулю, называется стационарной точкой.

Необходимые условия экстремума

Если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:

, .

Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Обозначается и равен сумме произведений второго порядка на соответствующие приращения аргументов:

Достаточные условия экстремума

а) в стационарной точке функция имеет максимум, если , и минимум, если , при любых и , не обращающихся в нуль одновременно;

б) если может принимать в зависимости от и и положительные и отрицательные значения, то в точке экстремума нет

в) если может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях и , то вопрос об экстремуме остается открытым.

Для функции двух переменных достаточные условия еще не очень сложны. Существуют четыре частные производные второго порядка

, , , . Из них две смешанные производные, если непрерывны, то раны. Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке :

, , , .

Обозначим через определитель, составленный из :

Тогда достаточные условия экстремума функции двух переменных имеют вид:

а) - если >0 и , то в точке функция имеет максимум,

- если >0 и , то в точке функция имеет минимум;

б) если <0, то экстремума нет;

в) если =0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример Исследовать на экстремум функцию .

1. Найдем частные производные

2. Приравняем их к нулю:

Решая полученную систему уравнений, получаем три стационарные точки:

, , .

3. Найдем вторые частные производные:

4.вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель и применяем достаточные условия экстремума:

- в точке - , , .

. Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.

- в точке - , , .

. Функция в точке имеет минимум.

- в точке - , , .

. Функция в точке имеет минимум.

В практических задачах часто возникает необходимость поиска экстремума функции в ограниченной области.

Функция имеет в точке заданной области глобальный максимум или глобальный минимум, если неравенство или выполняется для любой точки . Если область замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области (теорема Вейерштрасса).

Следовательно, чтобы найти наибольшее(наименьшее) значения функции в области , нужно

1) найти все стационарные точки внутри области и вычислить значения функции в них.

2) Исследовать функцию на экстремум на границе области

3) Сравнить значения функции, вычисленные в п.1 и п.2.

Поиск по сайту: