Теоретическое введение

Лабораторная работа

Дифракция на одной щели и дифракционной решетке

Теоретическое введение.

1. Если на пути лазерного пучка имеется одна щель в непрозрачном экране, то световой поток, прошедший через нее, перераспределяется по направлениям в пространстве так, что на удаленном экране наблюдения образуется дифракционная картина Фраунгофера в виде упорядоченной системы светлых пятен: центрального дифракционного максимума и симметрично расположенных относительно него боковых максимумов. Предполагается, что экран со щелью и экран наблюдения установлены перпендикулярно лазерному пучку.

Распределение интенсивности I₁(x) в одной дифракционной картине, полученной от одной щели, описывается формулой

; , (1)

Схема дифракции и график зависимости I₁(x) показаны на рис.1. Векторные диаграммы для характерных точек а, б, в, г (см. рис.1) приведены на рис.2.

Рис.2. Векторные диаграммы для характерных точек а, б, в, г распределения интенсивностей

Разобьем щель на большое число N полосок. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая такая полоска является источником вторичных волн (в данном случае вторичная волна от одной полоски - цилиндрическая волна).

Воспользуемся векторным методом сложения когерентных волн. В центре картины (точка а, x =0, q=0, рис. 2 а) все элементарные волны, исходящие от переизлучающих полосок, складываются в фазе (d₁=0).

В результате сложения получаем отрезок, длина которого равна А (0). Интенсивность в центре .

Когда N очень велико, сдвиг фаз мал, то стороны многоугольника на векторной диаграмме рис.2, б также малы и укладываются на дуге окружности. Радиус окружности уменьшается с увеличением , но длина дуги остается постоянной. Длина хорды дает суммарную амплитуду

.

Возводя амплитуду в квадрат, снова получим формулу (1) для интенсивности.

При векторная диаграмма (см. рис.2, в) превращается в окружность, длина которой равна A (0), а суммарная амплитуда A = 0. Волны, исходящие от крайних элементарных полосок (от первой и N -й), находятся в фазе, так как . Как видно из диа­граммы, для каждой элементарной волны, исходящей от полоски q в одной половине щели, найдется волна в противофазе с ней, исходящая от полоски в другой половине щели. Складываясь, элементарные волны попарно гасят друг друга. В результате получается дифракционный минимум интенсивности в направлении и соответственно в точке с координатой . Если , длина A (0) в 3/2 раза больше длины окружности, диаметр которой равен суммарной амплитуде A ' (см. диа­грамму рис.2, г). Из соотношения между диаметром и длиной окружности по­лучим

Отличительные черты дифракционной картины следующие:

1. Распределение интенсивности в дифракционной картине описывается выражением (1). Картина при нормальном падении света на щель симметрична относительно центрального максимума: .

2. Положение минимумов в картине определяется условием

.

3. Максимально возможное количество минимумов по одну сторону от центра картины .

Расстояние между этими минимумами .

Ширина центрального максимума в 2 раза больше ширины боковых максимумов.

4. Относительная интенсивность в максимумах подчиняется закономерности

,

где - интенсивности в первом, втором, третьем максимумах.

Для определения отношения целесообразно измерять расстояние l_m между m -м и (– m)-м минимумами. Тогда

. (2)

2.Пусть на пути лазерного пучка имеется две щели. Расстояние между ними равно d, а ширина щелей b остается прежней. В этом случае два дифрагированных пучка перекрываются и интерферируют. Суммарную картину называют также дифракционной. Распределение интенсивности в ней описывается известным выражением

;

I ₂(x) = 2I ₁(x)(1+ cosd), (3)

где - разность фаз между дифрагированными волнами, исходящими от щелей в направлении q; D l = d sinq - разность хода между ними. Множитель I₁ (x) содержит информацию о дифракции на одной щели. Множитель (1+cosd) содержит информацию об интерференции. Кроме дифракционного перераспределения происходит дополнительное интерференционное перераспределение светового потока по направлениям.

В направлениях q _n, для которых выполняется условие

d sinq = n l, n = 0, ±1, ±2,...,

интенсивность

I₂(x_n) = 4I₁(x_n) (4)

На экране наблюдения в точках P (x_n), координаты которых

,

наблюдаются яркие пятна (главные максимумы). Расстояние между максимумами равно . Координаты x_n получены в приближении малых углов (sinq _n @ tgq _n =xn/L). В пределах центрального дифракционного максимума (центрального пятна при дифракции на одной щели) шириной (m = ±1) наблюдается примерно Q главных максимумов, где .

Если координаты x_n некоторых главных максимумов совпадут с координатами дифракционных минимумов, то соответствующие главные максимумы "разрежутся" этими минимумами на две части.

Для определения отношения lL/d в эксперименте целесообразно измерять расстояние S_n между n -м и (– n)-м главными максимумами. Тогда

(5)

Из (2) и (5) следует, что

. (6)

Таким образом, измерения расстояний l_m и S_n позволяют определить расстояние между главными максимумами расстояние от центра картины до дифракционных минимумов отношение d/b.

Измерения интенсивностей главных максимумов дают возможность восстановить график распределения интенсивности при дифракции на одной щели (по огибающей, см. формулу (1)).

При дифракции на каждой щели происходит перераспределение интенсивности по углу в соответствии с выражением (1).

Зависимость интенсивности от x при дифракции на одной щели показана на рис.1.

В направлениях , когда

, m = ±1, ±2, ±3, …,

наблюдаются дифракционные минимумы.

Вследствие дифракции световые пучки, исходящие от N щелей и имею­щие распределение интенсивности , перекрываются и интерферируют. В результате интерференции происходит дополнительное перераспределение интенсивности по углу q в соответствии с выражением.

(7)

В главных направлениях , когда

, n = 0, ±1, ±2, ±3, …,

интенсивность света, исходящего от одной щели, равна , а резуль­тирующая интенсивность при интерференции N пучков увеличивается в раз:

.

Зависимость результирующей интенсивности от показана на рис. 3 для случая, когда падающий узкий световой пучок засвечивает только N =4 щели в решетке, у которой . Дифракционная картина состоит из серии главных максимумов в тех направлениях , для которых выполняется условие

.

Огибающая главных максимумов (пунктирная кривая на рис.3, пред­ставляет собой дифракционное распределение интенсивности (при дифракции на одной щели), увеличенное в раз. В силу соотношения направления на главные максимумы с номерами n =±3, ±6, ±9, … точно совпадают с направлениями на дифракционные минимумы, поэтому указанные главные максимумы в дифракционной картине отсутствуют. Теоретически между главными максимумами имеется N –2 побочных интерференционных максимумов, но на опыте из-за ма­лой интенсивности они обычно не наблюдаются.

Интенсивности главных максимумов в раз больше, чем интенсивность при дифракции на одной щели в тех же точках

.

Ширина главных максимумов D x ~ 1/ N и уменьшается с увеличением N. Интенсивность тех главных максимумов, координаты которых близки к координатам x_m дифракционных минимумов, резко уменьшается. Максимумы, для которых x_n @ x_m, полностью исчезают. Для относительных интенсивностей справедливо соотношение

.

По результатам измерения интенсивностей, например, и можно оценить количество освещенных щелей (попадающих под лазерный пучок):

.

Индексы 1, 2, N указывают на количество щелей, участвующих в дифракции.

Зная расстояние S_n, можно оценить полуширину главных максимумов (расстояние от центра до ближайшего дополнительного минимума):

.

Контрольные вопросы для подготовки к работе.

1. Дифракция Фраунгофера наблюдается:

A. На любом расстоянии от щели, когда падающая волна является плоской.

B. Если падающая волна – сферическая, а экран расположен на большом расстоянии от щели, таком, что .

C. Когда на щель падает параллельный пучок света, за щелью расположена длиннофокусная линза, и картина наблюдается в ее фокальной плоскости.

D. Если на щель падает плоская волна, а картина наблюдается на экране, удаленном от щели на расстояние (линза отсутствует).

2. В выражении для интенсивности света, дифрагированного на щели,

,

величина равна:

A.

B. .

C. .

D. .

E. .

3. В направлениях под углами от нормали к щели интенсивность света равна нулю, если выполняется условие:

A. , .

B. , .

C. , .

D. , .

4. Величина имеет следующий смысл:

A. Разность хода волн, приходящих в некоторую точку экрана наблюдения, исходящих в направлении от крайних вторичных источников в виде узких полосок.

B. Разность хода волн, приходящих в некоторую точку экрана наблюдения, исходящих в направлении от середин щели и от одного из краев щели.

C. Эффективная ширина щели, видимая из точки экрана.

5. Интенсивность в центре дифракционной картины:

A. Равна интенсивности падающего на щель света

B. В 4 раза больше, чем интенсивность света, падающего на щель

C. Меньше, чем интенсивность падающего света, и зависит только от расстояния от щели до экрана

D. Меньше, чем интенсивность падающего света, и пропорциональна множителю

6. Распределение интенсивности по углам дифракции на решетке из N щелей шириной определяется формулой

,

где - интенсивность от одной щели в направлении , а величина равна:

A.

B. .

C. .

D. .

7. Какая из приведенных ниже векторных диаграмм соответствует главному максимуму:

8. Для решетки с и реализуется полное количество главных максимумов, равное:

E. 5.

F. 6.

G. 7.

H. 8.

I. 9.

9. На дифракционную картину падает свет одинаковой интенсивности с длинами волн и . Укажите рисунок, иллюстрирующий положение главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой ( - угол дифракции).

10. Монохроматический свет с длиной волны дифрагирует на решетке из щелей (). На рисунках представлены векторные диаграммы, соответствующие минимумам интенсивности , которые наблюдаются между главными максимумами с и . Чему равна разность и разность хода волн, идущих в указанных направлениях от соседних щелей?

рисунок	А	В	С

Схема вывода формулы для распределения интенсивности

На щель в непрозрачной преграде падает плоская волна нормально к плоскости щели. Условно разобьем щель на узких полосок, которые являются вторичными источниками согласно принципу Гюйненса-Френеля. На рис. показаны векторные диаграммы для центра дифракционной картины (a) и для некоторого угла дифракции .

1) Изобразите на рисунке схему дифракции Фраунгофера на щели.

2) Чему равна разность фаз в направлении угла дифракции ?

.

3) Получите формулу для суммарной амплитуды , если в центре картины амплитуда дифрагированной волны равна .

4) Запишите формулу для интенсивности .

5) Найдите значения для тех углов дифракции , когда (считая и известными).

6) Нарисуйте график зависимости от . Как изменится график, если ширину щели увеличить в 2 раза?

Поиск по сайту: