Расчет сложных процентов

Сложный процент – это сумма дохода, которая начисляется в каждом интервале и присоединяется к основной сумме капитала и участвует в качестве базы для начисления в последующих периодах. Начисление сложных процентов применяется, как правило, при долгосрочных финансовых операциях, например, инвестировании.

В настоящее время сложные проценты начисляются по некоторым видам вкладов, это т.н. вклады с капитализации.

При расчете суммы будущей стоимости (Sc) применяется формула:

Sc = S₀ * (1+i)ⁿ

Соответственно, сумма сложного процента определяется: Ic = Sc – S₀

где Ic – сумма сложных процентов, начисленных за весь период

S₀ – первоначальная стоимость денег

Sc – будущая стоимость денег

n - количество интервалов начисления, по которым осуществляется расчет процентных платежей

i – используемая процентная ставка, выраженная в долях единицы.

Pc = Sc / (1+i)^n

Dc = SC – S0

При расчете временной стоимости денег в условиях применения сложных процентов необходимо иметь в виду, что на результаты оценки влияет не только процентная ставка, но и число интервалов выплат в течение всего платежного периода, что приводит к тому, что в ряде случаев более выгодно инвестировать деньги под меньшую ставку процента, но при условии более частых интервалов начисления.

S₀ -> S₁ = S₀ + P

T = n * t

P – сумма процентов

T – период времени

t – число дней в интервале начисления

n – количество интервалов начисленя

P = S₀ * Iгод / 365дней * t

(сумма процентов за 1 интервал начисления)

Простые проценты: Sn = So (1 + i * n)

СХЕМА 1

Сложные проценты: Sn = So + So * i * n

СХЕМА 2

В мировой практике используются и отрицательные проценты (до 1970-х гг. – Швейцарские банки – брали деньги на хранение с определенным процентом для себя, при сохранении анонимности вкладчика).

Отличительная особенность сложных процентов заключается в том, что доход, полученный в каждом интервале начисления капитализируется, т.е. прибавляется к сумме основного вклада и в к следующем интервале на эту капитализированную сумму снова начисляются проценты.

S₁ = So + P = So + So*i*n = So * (1+i)

S₂ = S₁ * (1+i) = So * (1+i) * (1+i)

Sn = So * (1+i)ⁿ

P = Sn – So

При интервале начисления n = 1сумма начисленных процентов по формуле простых и по формуле сложных процентов при одинаковой процентной ставке совпадает. А далее при n>1 сумма начисленных сложных процентов при той же процентной ставке больше, чем при начислении простых процентов.

Задача.

Вклад в банк – 1млн. руб. под 16% годовых (i=0,16); сумма начисляется и уплачивается ежеквартально (n = ¼). Рассчитать результат при начислении простых и сложных процентов и будущую стоимость денег за 1,2,3,4 кварталы.

Простые проценты:

Sn = So (1 + i * n)

S1 = 1.000.000 (1 + 0,16 * 1/4) = 1.040.000

S2 = 1.000.000 (1 + 0,16 * 2/4) = 1.080.000

S3 = 1.000.000 (1 + 0,16 * 3/4) = 1.120.000

S4 = 1.000.000 (1 + 0,16 * 4/4) = 1.160.000

Сложные проценты:

Sn = So * (1+i)ⁿ

S1 = 1.000.000 * (1+0,16)^1/4 = 1.037.802

S2 = 1.000.000 * (1+0,16) ^2/4 = 1.077.033

S3 = 1.000.000 * (1+0,16) ^3/4 = 1.117.746

S4 = 1.000.000 * (1+0,16) ^4/4 = 1.160.000

Если сложные проценты применяются в коротких, обычно внутригодовых интервалов начисления, то результат может быть меньше, чем при начислении простых процентов. Поэтому, как правило, сложные проценты используются, если число интервалов начисления n > 1.

Задача 2. Банк начисляет на сумму вклада 1.000.000руб. 4% в квартал.

а) простые проценты

б) сложные проценты

Посчитать сумму начисленных процентов и будущую стоимость денег за 1-4 кварталы.

Простые проценты:

Сложные проценты:

1 + i = 1 + 0,04 = 1,04

S1 = So * (1+i)

S2 = So * (1+i)²

S3 = So * (1+i)³

S4 = So * (1+i)⁴

Задача.

За сколько лет удвоится сумма, если ежегодно начисляется 7% годовых?

а) при начислении простых процентов

б) при начислении сложных процентов

Дано:

Sn = 2So

i = 0,07

n =?

При начислении простых процентов: Sn = So + So * i * n => Sn = So (1 + in) => 2So = So (1 + in) => 1 + in = 2 => n = (2-1)/0,07 = 15 полных лет

Проверка: сколько составят начисленные проценты за 15 лет?

14лет*7% = 98%

15лет*7% = 105%

При начислении сложных процентов: Sn = So * (1+i)ⁿ

2So = So (1+i)ⁿ

(1+i) ⁿ = 2

1,07 ⁿ = 2

n = 11 полных лет

При начислении сложных процентов в течение долгосрочного периода (где n >> 1) достигается больший экономический эффект, чем при начислении простых процентов.

Процесс, обратный начислению процентов, называется дисконтированием. Т.е. это определение начальной суммы денег, если известна сумма денег в будущем периоде (So=?).

Простые проценты: So = Sn / (1 + in)

Пример. Нам нужно через n = 3 года получить Sn = 1.000.000, i = 12% годовых;

So = 1.000.000 / (1 + 0,12*3) = 735294,1176 руб.

Проверка: 735294,1176 * 0,12 * 3 года = 264706руб.

735294,1176 + 264706 = 1.000.000 руб.

Сложные проценты:

Sn = So * (1+i)^n

So = Sn / (1+i)^n

So = S3/(1+i)^3

1,12^3 = 1,4

1.000.000 / 1,4 = 714.285,71руб.

Проверка: 714.285,71 * 1,12^3 = 1.003.519,993 руб.

При дисконтировании может возникнуть ситуация, когда надо определить не только первоначальную сумму денег, но и число интервалов начисления, которые надо использовать, или приемлемую процентную ставку.

Например. Какой должна быть процентная ставка, чтобы первоначальная сумма за 5 лет удвоилась?

дано:

n = 5 лет

Sn = 2So

i =?

При простых процентах:

So = Sn / (1 + in)

So = 2So / (1 + 5i)

1 = 2 / (1 + 5i)

2 = 1 + 5i

5i = 1

i = 1/5 = 20%

Если сумма на счете изменяется в течение операционного дня, то начисление процентов производится на тот остаток средств, который был на конец операционного дня. Например, такой способ начисления используется для всех расчетных и текущих счетов.

Pежедневн. (или за количество дней, равное t) = S кон. дн. * i / T (число дней в году) * t (фактическое число дней, в течение которых остаток был неизменный)

Процентные ставки бывают различными по способу начисления, по видам, по видам вкладов, на которые они начисляются, по видам источников денежных средств и т.д.

Приведем некоторые критерии классификаций ссудного процента:

1) в зависимости от времени начисления ссудного процента и времени определения стоимости денег (текущая, настоящая или будущая стоимость денег):

a. ставка наращения

b. ставка дисконтирования

2) по способам начисления с учетом капитализации полученного дохода:

a. простые проценты

b. сложные проценты

3) по стабильности уровня используемой процентной ставки в течение всего периода начисления:

a. фиксированная процентная ставка (не изменяется в течение всего времени начисления)

b. плавающая процентная ставка (может изменяться в течение периода начисления через целое число интервалов, или даже внутри одного интервала). Она применяется при привлечении и размещении денежных средств в условиях нестабильной экономики, а также на длительный период.

Условие о возможном изменении процентной ставки должно обязательно содержаться в заключаемых хозяйственных договорах. Изменяться процентная ставка должна только по обоюдному согласию кредитора и заемщика.

При принятии решения об изменении процентной ставки это должно быть оформлено дополнительным соглашением к договору, подписанному обеими сторонами – и кредитором, и заемщиком.

4) по условиям формирования:

a. базовая процентная ставка (она, как правило, не ниже темпов инфляции).

b. договорная процентная ставка (устанавливается в каждом конкретном случае, в зависимости от вида данной экономической операции). Она может быть выше базовой при большей степени риска, при отсутствии доверия между сторонами; и в некоторых случаях она может быть ниже базовой – при предоставлении денег постоянным деловым партнерам, при предоставлении товара с отсрочкой платежа (при расчете в товарной форме) при условии доверия между сторонами и т.д.)

5) в зависимости от обеспечения начисления определенной годовой суммы процентов:

a. периодическая процентная ставка (фактическая процентная ставка по данной хозяйственной операции)

b. эффективная ставка процента (показывает среднегодовые расходы заемщика, связанные с получением и обслуживанием заемных средств; включает в себя расходы, связанные с уплатой процентов, комиссионного вознаграждения; сумм, связанных с разовой уплатой процентов и т.д.).

Кроме того, в экономической литературе под эффективной ставкой процента подразумевают ставку приведения результатов вычисления простых и сложных процентов к единой сумме. Эффективная ставка показывает, при какой ставке сложных процентов сумма будет равняться той же, которая получена при начислении простых процентов.

6) по видам операций и их экономическому содержанию:

a. вексельная процентная ставка

b. банковская процентная ставка

c. ставки по межбанковским кредитам

d. процентные ставки по облигациям (ставка доходности)

e. ставки доходности по другим видам операций, связанных с предоставлением или получением товаров и денежных средств взаймы.

1. концепция учета фактора инфляции

Инфляция – это нарушение закона денежного обращения, выражающаяся в изменении уровня цен. На уровень инфляции оказывают влияние различные факторы:

1) возрастающая эмиссия денег

2) увеличение издержек, затрат, связанных с изготовлением товаров

3) рост платежеспособного спроса населения вследствие роста доходов населения, роста уровня з/п

4) сокращение численности работающих в реальном секторе экономики, и, как следствие, сокращение объемов производства некоторых видов товаров и прочие факторы.

На рост цен оказывает влияние также стремление предпринимателей к прибыли, доля которой включается в цены товаров.

Инфляция оказывает разное влияние на различные составляющие основного (внеоборотного) и оборотного капитала.

1) Например, влияние фактора инфляции на производственные запасы сырья и материалов. Инфляция приводит к занижению стоимости, поскольку они приобретаются по более низкой цене, а списывать в производство нужно по более высокой. Это выгодно товаропроизводителям, поскольку это позволяет удешевить цену производимых товаров, а с другой стороны, занижение себестоимости не выгодно с точки зрения оптимизации налогообложения.

В настоящее время с целью уменьшения влияния факторов инфляции используются различные методы и способы учета затрат, учета стоимости материалов, направленных в производство.

2) Влияние инфляции на денежные средства. Денежные средства в кассе и на расчетном счете обесцениваются. Но это влияние можно уменьшить путем размещения этих средств в ценные бумаги и прочие финансовые активы, приносящие доходы. Также денежные средства могут быть переведены в более устойчивую иностранную валюту.

3) Влияние инфляции на кредиты. Инфляция приводит к обесценению ссудной задолженности. Таким образом, инфляция выгодна заемщикам и невыгодна кредиторам. Минимизация этого влияния происходит с помощью использования плавающей процентной ставки.

4) Влияние инфляции на основные средства. Инфляция приводит к относительному занижению стоимости основных средств на балансе по сравнению с их возрастающей текущей рыночной ценой. При этом амортизационные отчисления также обесцениваются. Для минимизации этого влияния осуществляется:

а) ускоренная амортизация

б) нелинейные способы начисления амортизации (например, метод уменьшаемого остатка)

в) периодически проводимая переоценка основных средств

5) Влияние инфляции на продолжительность производственного, операционного и финансового цикла. Производственный цикл – это время от момента приобретения исходных сырья и материалов до момента выпуска готовой продукции. Финансовый цикл - это время от вложения денег в производство до момента получения дохода от продаж на расчетный счет. Операционный цикл включает в себя и производственный, и финансовый цикл, и представляет собой полный цикл кругооборота оборотного капитала. При низких темпах инфляции организации с коротким (например, пищевая промышленность)

и длительным операционным циклом (например, строительные организации) находятся в примерно равных условиях. А при высоких темпах инфляции выигрывают организации с более коротким операционным циклом, т.к. они быстрее получают прибыль.

Для исследования фактора инфляции вводятся следующие понятия:

1) индекс инфляции. (ИИ) Отражает соотношение цен текущего и базового периода. Индекс инфляции показывает рост цен. Выражается чаще в долях.

2) темп инфляции. (ТИ) Показывает прирост цен в текущем периоде. Выражается чаще в процентах. ТИ = (ИИ-1)*100%

3) номинальная сумма денежных средств. Это та сумма, которая отражается на счете, или как номинал ценной бумаги, или как сумма по договору, или как сумма в платежном документе без учета фактора инфляции.

4) реальная сумма денежных средств. Это та сумма, в которую превращается номинальная сумма в течение определенного периода времени с учетом фактора инфляции.

5) номинальная процентная ставка – это ставка, устанавливаемая без учета изменения покупательной стоимости денег в связи с инфляцией.

6) реальная процентная ставка – это ставка, устанавливаемая с учетом изменения покупательной стоимости денег в связи с инфляцией

7) инфляционная премия – это дополнительный доход, выплачиваемый или предусмотренный к выплате кредитору или инвестору с целью возмещения потерь от обесценения денег, связанных с инфляцией.

начале периода и прирост цены, образовавшийся в конце периода. Поэтому при расчете влияния инфляции используются формулы, сходные с формулами расчета сложных процентов. Т.е. для расчета годовой инфляции ежемесячные индексы инфляции перемножаются. А для расчета инфляции за несколько лет – перемножаются годовые индексы инфляции, если они не равны.

Если индексы и темпы инфляции каждый месяц одинаковы, или известны средние темпы инфляции, тогда расчет можно вести по формуле сложных процентов:

ИИгод = ИИ1 х ИИ2 х …. х ИИ12

ИИгод = ИИмесяц^12

ТИ год = (ТИмесяц + 1)^12 – 1

При осуществлении инвестиций и осуществлении банковских вкладов, также при покупке процентных долговых ценных бумаг возникает вопрос, как учитывать реальный финансовый результат в условиях инфляции.

Для этих целей используется формула Фишера: Iреальная = (Iноминальная – ТИ) / (1 + ТИ)

Sреальн. = So x (1 + Iреальн.)

Задача. Инвестор размещает ДС под 10% годовых. ТИ за год составили 8%. Определить реальную процентную ставку.

Iреальн. = (0,1-0,08)/(1+0,08) = 0,01851852 = 1,85%

1. Концепция учета факторов риска.

Риск – это возможность изменения предполагаемого результата, преимущественно в виде потерь, вследствие реализации одного из множества существующих вариантов в сочетании условий и факторов, оказывающих влияние на анализируемый объект.

Концепция учета фактора риска состоит в оценке его уровня с целью обеспечения формирования необходимой доходности финансово-хозяйственных операций и разработки системы мероприятий, позволяющих минимизировать его негативные финансовые последствия.

Риск – возможность наступления неблагоприятного события, связанного с различными видами потерь.

Экономические риски – производственные, коммерческие и финансовые.

Коммерческие риски связаны с проблемами реализации товаров – утрата в пути и т.п.

Финансовый риск – совокупность специфических видов риска, генерируемых неопределенностью внутренних и внешних условий осуществления финансовой деятельности предприятия.

1) Различают индивидуальные и портфельные финансовые риски.

Индивидуальный риск присущ отдельным финансовым операциям или отдельным финансовым инструментам, используемым предприятием в процессе хозяйственной деятельности (риск обесценения купленных акций, риск банкротства банка, в котором открыт р/с, риск неплатежа со стороны партнеров, риск повышения курса иностранной валюты, в которой был взят кредит и т.д.).

Портфельный финансовый риск – общий риск, присущий сформированной совокупности финансовых инструментов, связанных с осуществлением определенных видов операций (риск инвестиционного портфеля (сформированной совокупности дебиторской задолженности по предоставляемому коммерческому или потребительскому кредиту); риск депозитного портфеля (сформированной совокупности депозитных счетов предприятия в коммерческих банках) и другие).

2) Системный (рыночный) риск – риск, связанный с изменением конъюнктуры всего финансового рынка (или отдельных его сегментов) под влиянием макроэкономических факторов. Он возникает для всех участников этого рынка и не может быть устранен ими в индивидуальном порядке.

Несистемный (специфический) риск – внутренний финансовый риск, присущий деятельности конкретных хозяйствующих субъектов (эмитентов ценных бумаг, дебиторов и т.п.).

Также риск подразделяется на:

3) внешний и внутренний

4) постоянный и временный

5) риск с большей или меньшей степенью вероятности

6) по уровню финансовых потерь:

• допустимый (менее 10% потерь от общего объема сделки или менее 10% отклонений от финансового плана)
• критический (это риск, который может вызвать серьезное ухудшение ликвидности и финансового состояния организации)
• катастрофический (высока вероятность банкротства)

7) прогнозируемый и непрогнозируемый

8) подлежащий или не подлежащий страхованию. Отдельные виды рисков подлежат страхованию в обязательном порядке, например – взносы в страховые фонды.

Уровень финансового риска – это показатель, характеризующий вероятность возникновения определенного вида риска и размер возможных финансовых потерь при его наступлении. Выражается в долях единицы.

Безрисковая норма доходности – норма доходности по финансовым (инвестиционным) операциям, по которым отсутствует реальный риск потери капитала или дохода. Этот показатель используется обычно как основа расчета необходимой нормы доходности по финансовым операциям с учетов премии за риск.

Премия за риск – это сумма, которая может включаться в договор, в цену товара, в сумму сделки, и предназначена она для возмещения инвестору потерь, связанных с риском.

Соотношение уровня доходности и риска – одна из основных базовых концепций финансового менеджмента, определяемая прямой взаимосвязью этих двух показателей. В соответствии с этой концепцией рост уровня доходности финансовых операций при прочих равных условиях всегда сопровождается повышением уровня их риска и наоборот.

Для оценки уровня финансового риска применяется формула:

Уровень риска (УР) = Вероятность возникновения данного финансового риска (ВР) х Размер возможных финансовых потерь при наступлении данного риска.

УР = ВР х РП

Оценка рисков необходима для определения премии за риск:

R Pn = (Rn – An) x β, где:

R Pn – уровень премии за риск по конкретному проекту

Rn – средняя норма доходности на финансовом рынке

An – безрисковая норма доходности на финансовом рынке (в западной практике по государственным долговым обязательствам)

β – бэтта-коэффициент, характеризующий уровень систематического риска по конкретному проекту.

Применяются различные методы оценки уровня финансового риска, в т.ч. – экономико-статистические, экономико-математические и экспертные методы, которые предусматривают подключение квалифицированных специалистов (страховых, финансовых, инвестиционных менеджеров и т.д.) с последующей математической обработкой результатов.

СЕМИНАР.

Задача:

Дано:

So = 10.000

Sn-So=P = 1.000

i =?

n = 5/12

Решение:

Sn = So + P = So (1 + ni)

P = So*n*i

P(5мес.) = So * 5/12 * i

i = P (5мес.) / So * 5/12 = 1000 / (10000 *5/12) = 0,1 * 12 /5 = 0,24

Традиционный коммерческий кредит – это предоставление товара с отсрочкой платежа, когда заемщик (лицо, получающее товар) подписывает вексель, погашаемый в течение определенного срока.

Предположим, мы покупаем товар на 15.000.000 руб. 09 октября. Дата погашения – 01 декабря. Под 8% годовых. Какую сумму мы должны заплатить 01 декабря?

ТЕТРАДЬ

Как правило, сумма процентов в векселе не указывается, а указывается только номинал векселя, но при этом сумма денег или товаров, предоставленных в долг несколько меньше, чем сумма по номиналу, а оплачивается именно сумма векселя.

09.10. 2012 поставлен товар на сумму 14.825.755 руб. Номинал векселя – 15.000.000 руб. Срок погашения – 1 декабря. Такой вексель называется дисконтным. Рассчитать сумму дисконта и ставку дисконтирования.

ТЕТРАДЬ

Поиск по сайту: