Основные теоремы операционного исчисления: теорема линейности, теорема подобия, теорема смещения, теорема запаздывания (доказательство)

Преобразования Лапласа. Основные понятия и свойства. Примеры.

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f (t)=0 для всех отрицательных t;

3. f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и s₀, что |f(t) |< Me ^{s0t для всех t.}

Изображением функции f (t) (по Лапласу) называется функция F (p) комплексного переменного p= s +it, определяемая равенством

.

Тот факт, что F (p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:

.

Для любой функции-оригинала f (t) изображение определено в полуплоскости Re p >s₀ и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Из определения изображения следуют его простейшие свойства:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2. Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

.

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), fў (t), fІ (t),…, f ⁽ⁿ⁾(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

,

,

где под f ^(k)(0), (k = 1, 2,…, n-1) понимается .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

или вообще

.

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

.

6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции

.

7. Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р₀

.

8. Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

.

Основные теоремы операционного исчисления: теорема линейности, теорема подобия, теорема смещения, теорема запаздывания (доказательство).

Поиск по сайту: