I. 4.1. Первая теорема двойственности

Заметим, что для существования оптимального плана любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существование дополнительного плана для каждой из них.

Теорема (первая теорема двойственности): если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем соответствующие экстремальные значения целевых функций совпадают: Если одна из двойственных задач неразрешима в следствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.

Таким образом, если задача определения оптимального плана, максимизирующей выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукта, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, то есть равенства общей оценки продукции и ресурсов; обуславливает убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставлять и балансировать затратыи результаты системы.