Билет 22Понятие евклидова пространства, неравенство Коши-Буняковского. Теорема Кронекера Капелли

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нём каждой паре векторов х,у поставлено в соответствие число (х,у), называемое скалярным произведением векторов х и у, для которого выполняются следующие условия:

1) (х,у) = (у,х)

2) (х₁+х₂,у) = (х₁,у)+(х₂,у)

3) (γх,у)= γ(х,у)

4) (х,х)≥0, причем (х,х) =0 ó х=0

Аксиомы евклидова пространства:

Нормой в линейном пространстве L называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору х L вещественное число ||x||, для которого выполняются следующие условия:

1) ||x||>0, если х≠0, и ||0||=0

2) ||γx||=|γ| ||x||, γ R

3) x, y L (||x+y||≤||x||+||y||) Неравенство треугольника

В евклидовом пространстве Е норму можно задать следующим образом: ||x||=

Неравенство Коши Буняковского Е (|(x,y)|≤||x|| ||y||) Такая норма носит называние евклидовой.

Углом между векторами х и у называется угол φ [0,π] косинус которого вычисляется по формуле cosφ=

Векторы х и у называются ортогональными, если (х,у) =0. Система векторов x₁….x_n называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны друг другу.

Поиск по сайту: