Билет 21 Квадратичные формы, преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису

Квадратичной формой n переменных x₁….x_n называется однородным многочлен второй степени относительно этих переменных:

Ф(x₁….x_n) = а₁₁х₁²+a₁₂x₁x₂+…+a_1nx₁x_n+a₂₁x₂x₁+a₂₂x₂²+…+a_nnx_n², (1) или в матричном виде Ф(x₁….x_n)= Х^ТАХ, где Х= , А=(а_ij)_NxN.

Квадратичная форма – функция, ставящая в соответствие каждому элементу х евклидова пространства Е_n некоторое вещественное число Ф(х). Тогда Ф в (1) есть не что иное как функция от координат вектора х.

Матрица А, называемая матрицей квадратичной формы Ф, всегда симметрична, поскольку мы всегда можем потребовать, чтобы а_ij= а_ji,так как это коэффициенты при равных произведениях х_ix_j и x_jx_i.

По сколько в (1) используются координаты вектора, то эта запись зависит от выбранного базиса, и, следовательно, от базиса зависит также и матрица квадратичной формы. Пусть ε и ε’ – два базиса Е_n, А- матрица квадратичной формы Ф в базисе ε, а А’ - в базисе ε’. Тогда А’= A (2)

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводятся в другую посредством невырожденного линейного преобразования координат. Поскольку при невырожденном линейном преобразовании базис переходит в базис, матрицы двух эквивалентных квадратичных форм будут связаны соотношением вида (2).

Каноническим видом квадратичной формы называется эквивалентная ей квадратичная форма, содержащая только квадраты переменных:

Ф’(x₁….x_n)= γ₁x₁²+…+γ_nx_n²=X^TBX, B= . Матрица квадратичной формы в каноническом виде диагональна. Базис, в котором квадратичная матрица принимает канонический вид, называется каноническим.

Поиск по сайту: