Билет26 Самосопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе

Пусть φ линейный оператор над евклидовым пространством Е_n. Линейный оператор φ* называется сопряженным оператору φ, если Е_n((φ x,y)=(x, φ*y)).

Для всякого оператора φ существует и при том единственный сопряженный оператор φ*. Если в ортонорированном базисе оператор φ имеет матрицу А, то оператор φ* имеет матрицу А^Т.

Оператор φ называется самосопряженным, если φ=φ*. Понятно что если А матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе, то А=А^Т. Матрица с таким свойство называется симметрической или симметричной.

Свойства самосопряженного оператора:

1) Матрица самосопряженного оператора влюбом ортонормированном базисе симметрична

2) Все характерестические числа самосопряженного оператора вещественны

3) Различным собственным числам самосопряженного оператора соотвествуют ортогональные собствеенные векторы

4) Если φ сомасопряженный оператор над Е_n, то в Е_n существует ортонорированный базис из собственных векторов φ, и матрица оператора в этом базисе имеет вид: где γ – собственные числа оператора φ.

Поиск по сайту: