|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решенийСистема линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0 (1) AX=0 (1’) Замечание1: Однородные системы совместны, Множество однородной системы не пусто Теорема1:Множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством пространства Rn Пусть L – множество решений (1). Х,У L, требуется доказать 1) (х+у) L; 2) α R [αx L] 1) x L => AX=0 => AX+AY=0 A(X+Y)=0 => X+Y L y L => AY=0=> AX+AY=0 A(X+Y)=0 2) A(αX)= αAX=0 => αX L Определение: Фундаментальной системой решений(ФСР) однородной системы линейных уравнений (1) называется базис пространства решений этой системы. Пусть ФСР = {C1…Ck} x L [x=α1C1+…+αkCk] (2) (2)называется векторной формой записи общего решения однородной системы (1) Нахождение ФСР 1)x1,…,xr – базисные хк+1,..,хn – свободные 2) Выражение базисных элементов через свободные
Х1= а1r+1xr+1 +…+ a1nxn X2 = а2r+1xr+1 +…+ a2nxn (3) Xr= = аrr+1xr+1 +…+ arnxn Найдём общее решение в параметрической форме. Чтобы найти векторы С1,…, Ск (ФСР) придадим свободным неизвестным Хr+1,...,Xn линейно независимые наборы значений (n-r). Хr+1,...,Xn Придадим свободным неизвестным и для каждого набора найдём частное решение r- базисных, n-r - неизвестных С1= C2 = Cn-r= (4) X1= a1r+1Xr+1a1r+2Xr+2+…+a1nXn Любое решение системы (1) линейно выражается через C1 , Cn X0= предположим, что этот набор решений системы (1). Стало быть его компоненты удовлетворяют системе (2) равенств а1r+1X0r+1+…+a1nX0n (5) Из (5) Следует что = X0r+1 +…+X0n (6) X02= а2r+1X0r+1+…+a2nX0n X0r= аrr+1X0r+1+…+arnX0n Из последнего (6) выражение следует что вектор Х= = X0 r+1 +…+X0n X = X0r+1C1 +…+ X0nCn-r (7) мы получили что произвольные решения действительно равняются линейной комбинации ФСР. Векторы C1 … Cn-r образуют базис пространства решения Размерность пространства решений однородной системы уравнений n-r где n –число неизвестных r - ранг матрицы системы Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |