АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений

Читайте также:
  1. A) прогрессивная система налогообложения.
  2. C) Систематическими
  3. ERP и CRM система OpenERP
  4. I Понятие об информационных системах
  5. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  6. I. Суспільство як соціальна система.
  7. I. Формирование системы военной психологии в России.
  8. I.2. Система римского права
  9. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  10. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце
  11. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  12. II. Экономические институты и системы

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0

(1) AX=0 (1’)

Замечание1: Однородные системы совместны, Множество однородной системы не пусто

Теорема1:Множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством пространства Rn Пусть L – множество решений (1). Х,У L, требуется доказать 1) (х+у) L; 2) α R [αx L]

1) x L => AX=0 => AX+AY=0 A(X+Y)=0 => X+Y L

y L => AY=0=> AX+AY=0 A(X+Y)=0

2) A(αX)= αAX=0 => αX L

Определение: Фундаментальной системой решений(ФСР) однородной системы линейных уравнений (1) называется базис пространства решений этой системы. Пусть ФСР = {C1…Ck} x L [x=α1C1+…+αkCk] (2)

(2)называется векторной формой записи общего решения однородной системы (1)

Нахождение ФСР 1)x1,…,xr – базисные хк+1,..,хn – свободные

2) Выражение базисных элементов через свободные

 

Х1= а1r+1xr+1 +…+ a1nxn

X2 = а2r+1xr+1 +…+ a2nxn (3)

Xr= = аrr+1xr+1 +…+ arnxn

Найдём общее решение в параметрической форме. Чтобы найти векторы С1,…, Ск (ФСР) придадим свободным неизвестным Хr+1,...,Xn линейно независимые наборы значений (n-r).

Хr+1,...,Xn Придадим свободным неизвестным и для каждого набора найдём частное решение r- базисных, n-r - неизвестных

С1= C2 = Cn-r= (4) X1= a1r+1Xr+1a1r+2Xr+2+…+a1nXn

Любое решение системы (1) линейно выражается через C1 , Cn X0= предположим, что этот набор решений системы (1). Стало быть его компоненты удовлетворяют системе (2) равенств

а1r+1X0r+1+…+a1nX0n (5) Из (5) Следует что = X0r+1 +…+X0n (6)

X02= а2r+1X0r+1+…+a2nX0n

X0r= аrr+1X0r+1+…+arnX0n

Из последнего (6) выражение следует что вектор

Х= = X0 r+1 +…+X0n X = X0r+1C1 +…+ X0nCn-r (7) мы получили что произвольные решения действительно равняются линейной комбинации ФСР. Векторы C1 … Cn-r образуют базис пространства решения

Размерность пространства решений однородной системы уравнений n-r где n –число неизвестных r - ранг матрицы системы


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)