 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Билет 8. Векторное произведение, его геометрический смысл, выражение через координаты. Базис и размерность линейного пространства
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой если из конца 3его вектора кратчайший поворот от 1ого ко 2оу виден против часовой стрелки в противно случаи тройка называется левой.
Векторное произведение векторов ab называется вектор с=AxB, удовлетворяющий условиям 1
1) С перпендикулярен А; С перпендикулярен B
2) |c|=|a||b| sin(a^b)
3) A,b,c – правая тройка
Модуль векторного произведения есть площадь параллелограмма построенного на сомножителях
Векторное произведение направлено как головка буравчика который мы вращаем от 1 множителя ко 2ому
Свойства:
1) АхВ= -ВхА – анти коммутативность
2) (А+В)хС=АхС+ВхС(αА)хВ=α(АхВ)
АхВ= 
= i 
-j 
+k 
Условия коллинеарности 2 вектора коллинарны тогда и только тогда когда векторное произведение их равно 0
Базис и размерность линейного пространства
Базисом линейного пространства V называется система линейно независимых элементов, аксиальная по включению(при присоединении элемента л.н. исчезает)
Пусть е1…еn -,базис V x 
V { е1…еn,x}- линейно зависимая
α1…αn ,α – не все равные 0, такие что αх+α1е1+…+αnen=0
α1е1+…+αnen=0 не все х1,…, αn =0 =>e1,…,en- л.з. – противоречие => α≠0
αx= - α1e1-…-αnen x=- α1e1/α-…-αnen/α 
= 
= 
x=x1e1+…+xnen (1)
Выражение (1) называется разложением элемента х по базису е1….еn
Пусть система { е1….еn} – л.н. и для любого Х из V справедливо (1) тогда е1….еn образует базис. Х ó (X1,…, Xn)
Упорядоченная n кА чисел (X1,…, Xn) называется координатами элементов Х в базисе е1….еn
Множество упорядоченных n ок действительных чисел по компонентным сложениям и умножениям на действительное число образуют линейное пространство которое обозначается Rn .
Теорема: Пусть элементы b1…bs линейного пространства V есть линейные комбинации элементов a1….ak если s>k => то b1…bs – л.з.
b1=α11a1+…+αk1ak
b2=α12a1+…+αk2ak (2) Из коэффициентов равенства (2) составим матрицу: А=
bs=α1sa1+…+αksak
R(A)≤K K<S=> столбцы матрицы А линейно зависимы
β1…βs не все =0 β1 
+….βs 
= 
(3)
β1b1=α11a1+α21a2+…+αk1ak
β2b2=α12a1+ α22a2+…+αk2ak
βSbS=α1Sa1+ α2Sa2+…+αkSak
Из равенства (3) следует что линейная комбинация β1b1+…+ βSbS=0а1+...+0ак=0 => b1,…,bS –л.з Линейная комбинация длины К линейно независимых может быть не больше чем К
Теорема 2: В любом базисе конечномерного линейного пространства V содержится одинаковое количество элементов
Е1,…,еn – базис V; b1,…,bk- базис V; k< n Поскольку е1= α11b1+α21b2+…+αk1bk en= α1nb1+α2nb2+…+αknbk => Е1,…,еn –л.з.
Противоречие => k≥n => k=n
Размерность конечномерного пространства V называется число элементов в базисе этого пространства
Теорема: разложение по базису единственно
(1’) X=X’1e1+…+X’nen = противное предположение
(1) Х = Х1е1+…+Хnen
(1)-(1’) 0=(X1-X’1)e1+…+(Xn-X’n)en => X1=X’1 Xn=X’n чтд
Хó(X1,…,Xn) 
Rn
Линейная оболочка элементов а1...ак
L(а1...ак) = {α1а1+…+αnan, α1….αn R}
Теорема: Линейная оболочка является пространством (подпространством)
L V L – подпространство ó 1) 
2) 
a= α1а1+…+αkak b=β1a1+…+βkak
1)A+b= (α1+β1)a1+…+ (αk+βk)ak 
L
2)αa= αα1a1+…+ααkak L
Поиск по сайту: