АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса

Читайте также:
  1. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  2. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  3. I. Формирование системы военной психологии в России.
  4. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  5. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце
  6. II. Решение логических задач табличным способом
  7. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  8. II. Экономические институты и системы
  9. III. Мочевая и половая системы
  10. III. Органы и системы эмбриона: пищеварительная система
  11. III. Разрешение споров в международных организациях.
  12. III. Решение логических задач с помощью рассуждений

А11х11+…+а1nx1n=b1

Ak1x1+…+aknxkn=bk (1) – система

2 системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает.

А= расширенная матрица системы однозначно определяет систему

Элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы (1). Переводят систему (1) в эквивалентную

3) Приведём расширенную матрицу к ступенчатому виду, элементарными преобразованиями строк

А А’= (2)

Система (1) совместна, тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде (2) b’r+1 =0

0x1+…0xn=br+1 Система не совместна. Если при приведении расширенной матрицы к ступенчатому виду образуется строка b’r+1 ≠0, то система не совместна.

1) r=n

2) r<n

1) Если r=n, то А’= (3) Считаем с конца строки

A’nnxn=b’n

a’n-1,n-1xn-1+a’n-1,nxn=b’n-1 xn-1=…

r<n Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому есть общее решение и частное.

Параметрическая форма записи общего решения – это такая форма, в которой неизвестные x1…xn, выражаются как линейные функции некоторых параметров, принимающих произвольные значения

А’= (4) Нулевые строки отбрасываем, ведь 0=0

Алгоритм:

1) Неизвестные попавшие в углы ступенек называются базисными

2) Все остальные свободные

3) Переносим свободные неизвестные в правую часть и выражаем базисные неизвестные через свободные, эти выражения и есть общее решение системы в параметрической форме, роль параметров играют свободные переменные.

Пример1: 1) x1,x3,x4 – базисные х2,х5- свободные

2) Обратным ходом алгоритма Гаусса получим в столбцах базисных переменных единичную матрицу Переписать строки расширенной матрицы на языке уравнений

X1+4x2+ x5=

X3- x5=

X4+2x5=3

4)Выразить базисные неизвестные через свободные

X1=-4x2- x5 Общее решение в параметрической форме

X3= x5-

X4=-2x5+3

Замечание: (5) является общим решением в том смысле, что после подстановки выражений (5) в исходную систему все уравнения превращаются в тождества

Придавая свободным переменным х2 и х5 произвольные значения получаем частные решения системы

Если в системе есть хоть 1 свободная переменная, она имеет бесконечно много решений, поэтому по числу решений системы классифицируются следующим образом:

Число решений 0 система несовместна

Число решений 1 система определенная

Число решений ∞ система совестная неопределенная

Совестные r(A)=r(A) – Определённая r=n неопределенная r<n

Несовместная r(A)≠r()

Билет15. Гипербола, определение, асимптоты, каноническое уравнение, чертёж. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Гипербола- геометрическое место точек плоскости разность расстояний которых до 2х данных точек называемых фокусами есть вличина постоянная равная 2а

1)Прямая не ограниченная

|MF1-MF2|=2a c2=a2+b2 Связь между параметрами гипарболы

А1А2 – вершины гиперболы, F1F2 – фокусы

a<c y=+- bi при х=0

а- действительная ось, b - мнимая ось, с – половина фокусного расстояния

Число ε = называется эксцентриситетом гиперболы ε>1

Прямые параллельные оси Оу и имеющие уравнение называются директрисами гиперболы

Х= Левая ветвь r1-εx-a r2-εx+a

Правая ветвь r1=εx+a r2=εx-a

Прямые с уравнениями у= x называются асимптотами гиперболы

Фокальные свойства выходит будто его выпустили из другого фокуса

a=b на 45 градусов

Если гипербола равнобочная т.е. а=b, то повернутая на 45 градусов она превращается в «школьную»

Собственные элементы и собственные значения линейного оператора

Ненулевой элемент Х линейного пространства V называется собственным элементом линейного оператора [φ] если для него выполняется равенство φ(х)=γх (1) х≠0 V при этом γ называется собственным значением(числом) линейного оператора φ соответствующим элементу Х

γх=γ’х =>(γ-γ’)x=0=> γ=γ’

Собственный элемент под действием оператора меняется самым простейшим методом(может только растянуться)

Как равенство (1) выглядит на языке матриц

Фиксируем (е) => [φ]e= A

Φ(x)=(e)[φ]ex γx=(e)γx

AX=γX (1’)

AX-γEX=0 X≠0 (A-γE)X=0 (2) Однородная система линейных уравнений с матрицей A-γE

|A-γE| =0 Чтобы система 2 имела ненулевое решение необходимо и достаточно чтобы

|A-γE| = =γЕ= = )( -а21а12=γ2-γ(а11+а22)+а11а22-а21а12


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)