Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0

(1) AX=0 (1’)

Замечание1: Однородные системы совместны, Множество однородной системы не пусто

Теорема1:Множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством пространства Rⁿ Пусть L – множество решений (1). Х,У L, требуется доказать 1) (х+у) L; 2) α R [αx L]

1) x L => AX=0 => AX+AY=0 A(X+Y)=0 => X+Y L

y L => AY=0=> AX+AY=0 A(X+Y)=0

2) A(αX)= αAX=0 => αX L

Определение: Фундаментальной системой решений(ФСР) однородной системы линейных уравнений (1) называется базис пространства решений этой системы. Пусть ФСР = {C₁…C_k} x L [x=α₁C₁+…+α_kC_k] (2)

(2)называется векторной формой записи общего решения однородной системы (1)

Нахождение ФСР 1)x₁,…,x_r – базисные х_к+1,..,х_n – свободные

2) Выражение базисных элементов через свободные

Х₁= а_1r+1x_r+1 +…+ a_1nx_n

X₂ = а_2r+1x_r+1 +…+ a_2nx_n (3)

X_r= = а_rr+1x_r+1 +…+ a_rnx_n

Найдём общее решение в параметрической форме. Чтобы найти векторы С₁,…, С_к (ФСР) придадим свободным неизвестным Х_r+1,...,X_n линейно независимые наборы значений (n-r).

Х_r+1,...,X_n Придадим свободным неизвестным и для каждого набора найдём частное решение r- базисных, n-r - неизвестных

С₁₌ C₂ = Cn-r= (4) X₁= a_1r+1X_r+1a_1r+2X_r+2+…+a_1nX_n

Любое решение системы (1) линейно выражается через C₁ , C_n X₀= предположим, что этот набор решений системы (1). Стало быть его компоненты удовлетворяют системе (2) равенств

а_1r+1X_0r+1+…+a_1nX_0n (5) Из (5) Следует что = X_0r+1 +…+X_0n (6)

X₀₂= а_2r+1X_0r+1+…+a_2nX_0n

X_0r= а_rr+1X_0r+1+…+a_rnX_0n

Из последнего (6) выражение следует что вектор

Х= = X_{0 r+1} +…+X_0n X = X_0r+1C₁ +…+ X_0nC_n-r (7) мы получили что произвольные решения действительно равняются линейной комбинации ФСР. Векторы C₁ … C_n-r образуют базис пространства решения

Размерность пространства решений однородной системы уравнений n-r где n –число неизвестных r - ранг матрицы системы

Вопрос 3?

Поиск по сайту: