Билет 7 Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой. Понятие линейного пространства и подпространства, критерии подпространства

Скалярным произведением векторов а и b называется произведение модулей тих векторов на cos угла между ними а*b= |a|*|b|*cosγ γ=a^b

Углом между двумя векторами называется наименьший угол на который нужно повернуть один вектор до совмещения его с другим

Свойства скалярного произведения

1) A*b=b*a 2) (a+b)*c= a*c+b*c 3)αab=α(ab) 4) aa=a²≥0, a² =0 a=0

Условие ортогональности векторов

Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 aперпендикулярна b ó ab=0=> |a||b|cosγ=0 =>|a|=0=> 0 перпендикулярен b; |b|=0=> перпендикулярен a; cosγ=0 => γ=π/2

Ab=(a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k)=a₁b₁i²+a₂b₂j²+a₃ b₃ k²=a₁b₁ + a₂b₂+a₃ b₃

Ab= a₁b₁ + a₂b₂+a₃ b₃ (1) |a|= (2) Cosα= = (3)

Проекцией вектора а на направление вектора b называется длина вектора а₁ взятая со знаком «+» если его направление совпадает с направлением b и со знаком «-» в противном случаи. Проекция а на b равна =1) |a₁|, если а₁ b₁ 2) -|a₁|, если a₁ b₁; α<90=> а₁ b₁ α>90=> a₁ b₁; Проекция a на b = (4); ab= a* b=b* a (5)

Линейное пространство Линейным пространством V над полем F называется система элементов V с операциями сложения элементов и умножения элементов на числа из поля при этом должны выполняться следующие аксиомы линейного пространства.

выполняется: 1) сложение коммутативно х+у=у+х 2)сложение ассоциативно(х+у)+z=x+(y+z)

2) 4) 5)1*x=x унитальность 6) α(βх)=(αβ)х дистрибутивность

7) (α+β)х=αх+βх 8)α(х+у)= αх+αу Замкнутость относительно операций т.е. не выходим из V

Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства

1) Система элементов линейного пространства V а₁…а_n называется линейно зависимой, если существуют числа из поля F α₁… α_n не все равные 0, такие что α₁а₁+…+α_nа_n=0 нулевому элементу.

2) N≥2 Система элементов линейного пространства V а₁…а_n называется линейно зависимой тогда и только тогда когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

В противно случаю система элементов а₁…а_n линейного пространства V линейно независима

Понятие подпространства и критерии его

Подмножества L линейного пространства V называется подпространством если оно является пространством относительно операций определённых на V/

Теорема1: Критерий подпространства L V является подпространством тогда и только тогда когда L замкнута относительно операций сложения и умножения на число. 1) 2) 3) Если х L =>(-1)x L=>x+(-1)x=0 L Если выполняется 2 требования то L является пространством

а₁,…,а_n л.з. 1) α1 ….α_n не все =0 α₁а₁+…+α_na_n =0 2) n≥2 хотя бы один выражается через остальные

а₁,…,а_n л.н. 1) α₁а₁+…+α_na_n =0 α₁….=α_n=0 2) n≥2 ни один не выражается

Поиск по сайту: