Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису

Общее уравнение прямой в пространстве:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 Чтобы плоскости не были параллельны N₁=(A₁,B₁,C₁) N₂=(A₂,B₂,C₂) N₁xN₂≠0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (1)

N₁xN₂= =(, , ) ()²+()²+()²≠0 (2)

Система уравнений (1) с условием (2) задаёт прямую в пространстве такое задание называется общее уравнение прямой в пространстве

Теорема1: Всякая система уравнений (1) с условием (2) задаёт в пространстве прямую и наоборот. Любая прямая в пространстве может быть задана системой уравнений вида (1) с условием (2).

Каноническое уравнение прямой в пространстве М₀М||S = S=(m,n,p) – направляющий вектор

Если одно или 2 из чисел m,n,p равны 0 это означает что соответствующий числитель равен 0

Параметрические уравнения прямой в пространстве

t- любое действительное число

X=mt+x₀ Y=nt+y₀ Z=pt+z₀ (4)

M,n,p – любого параллельного вектора направляющего
Уравнения прямой проходящей через 2 точки. S=M₁M₂

Угол между прямой и плоскостью P: Ax+By+Cz+D=0,то N=(A,B,C) S=(m,n,p) sinα=|cosβ| sinα= (6)

Условие параллельности и перпендикулярности L||p:Am+Bn+Cp=0 L перпендикулярна p:

Точка пересечения прямой и плоскости P: Ax+By+Cz+D=0 L:

Для нахождения точек пересечения прямой L и плоскости р нужно:

Перейти к параметрическим уравнениям прямой вида (4) подставить полученные выражения для x,y,z, в уравнения плоскости р и найти параметр t, тогда если t = t₀ то точка пересечения прямой и плоскости К имеет координаты К(mt+x₀, nt+y₀, pt+z₀)

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Площадь параллелограмма =|S|d=|M₀M₁*S|

d= (7)

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулы деления отрезка в данном соотношении

γ= Найти координаты точки М М₁М=γММ₂

()=γ(х₂ –x; y₂-y; z₂-z)

x-x₁= γ(х₂ –x) x-x₁= γх₂ –γx => X= (8) Замечание 1)γ≠-1

2)Если точка М вне отрезка, то γ<0 3)От 1ой точки до делящей, к длине отрезка, от делящей до 2ой

Матрица перехода к новому базису
(e)=(e₁…e_n) - старый

(e’)=(e’₁…e’_n)- новый
e₁=α₁₁e’₁+ α₂₁e’₂+…+ α_n1e’_n

e₂= α₁₂e’₁+ α₂₂e’₂+…+ α_n2e’_n (1)

e_n= α_1ne’₁+ α_2ne’₂+…+ α_nne’_n

Система (1) в матричной форме: (e₁…e_n)=(e’₁…e’_n)*S S= (e)= (e’)S (e’)=(e)T=(e’)S *T S*T=E

Матрица перехода от старого (е) базиса к новому (e’) называется матрица, столбцы которой, есть координаты элементов старого базиса в новом.

Матрица перехода обратима при этом S^-1 является матрицей перехода от базиса (e’) к базису (е). Координаты вектора и матрица линейного оператора зависят от базиса.

Поиск по сайту: